Szalai Albin - Elektronikus Eszközök Tanszéke
A szilíciumon megvalósított aktív szűrők legnagyobb problémája, hogy nagyon korlátozott a megvalósítható passzív elemek nagysága. A kondenzátorok kapacitása maximum $6-700\,\mathrm{pF}$, az ellenállások maximális ellenállása pedig néhány $100\,\mathrm{k}\Omega$ lehet. Alacsony vágási frekvencián ezeknél az értékeknél lényegesen, akár több nagyságrenddel nagyobb értékek is szükségesek lehetnek. A kapcsolt kapacitású technikával ez a korlát kerülhető meg. Ha a hálózatban szereplő kapacitások értékét a megvalósítható tartományba csökkentjük, akkor $\mathrm{M}\Omega$, $\mathrm{G}\Omega$ nagyságrendű ellenállások adódnak. Ezeket a nagyértékű ellenállásokat lehet nagy pontossággal megvalósítani kapcsolt kapacitású ellenállásokkal. A szűrő struktúrája nem változik meg ettől, azonban a szűrő ekkor már nem folytonos, hanem diszkrét hálózat. A szakirodalom mintavételezett analóg rendszerként tárgyalja. A kapcsolt kapacitások nagy előnye, hogy az ekvivalens ellenállás értékét az alkalmazott kapacitás és a kapcsolókat vezérlő órajel frekvenciája határozza meg, ezért a már legyártott eszköz ekvivalens ellenállás értékét a kapcsoló frekvencia változtatásával hangolhatjuk. Ezzel a módszerrel egy szűrő vágási frekvenciája akár $0.2\,\%$ pontossággal is beállítható. A mintavételezésnek a maximális működési frekvenciához képest több $10$-szeresnek $100$-szorosnak kell lennie, ezért a tipikusan használt maximális vágási frekvenciák a néhány $\mathrm{MHz}$ nagyságrendbe esnek. Ez az egyik hátránya ennek a technikának. Mivel a kapcsolt kapacitás a valódi ellenállás zajteljesítményét szolgáltatja, ezért a kapcsolt kapacitású szűrők a legzajosabbak. Az órajel is előrecsatolódik a szűrő kimenetére, s az alkalmazástól függ, hogy ez a nagyfrekvenciás zavar megengedhető-e vagy sem. Ami egyedülálló a többi szűrőhöz képest, $0.1\,\mathrm{Hz}$ határfrekvencia is megvalósítható ésszerű méretek mellett. Annak következtében, hogy a kapcsolt kapacitású szűrő mintavételezett hálózat, szivárgás (aliasing) léphet fel, amennyiben a bemeneti jel a mintavételezési frekvencia felénél nagyobb frekvenciájú és még érzékelhető amplitúdójú komponenseket tartalmaz, vagyis nem sávhatárolt.
A kapcsolt kapacitású technika lényegét a legszemléletesebben a rezgőkondenzátorral megvalósított ellenálláson lehet bemutatni\cite{vlsi}.
A két NMOS tranzisztor kapcsolóként működik, és két egymással át nem lapolódó órajellel vezéreljük őket. Minden balról-jobbra történő átkapcsolás során először az $U_1$ feszültségű ponton feltöltődik az $U_1$ feszültségre, majd a töltést átviszi az $U_2$ feszültségű pontra, vagyis lényegében töltéstranszport történik. Amikor a kapacitás az $U_1$ feszültségű pontra kapcsolódik, a töltése $Q_1=C \cdot U_1$. Az $U_2$ feszültségű ponthoz kapcsolódva a töltés új értéke $Q_2=C \cdot U_2$. Így a két csomópont között szállított töltés \begin{equation} \Delta Q=Q_1-Q_2=C \cdot (U_1-U_2) \end{equation} A kapcsoló órajelnek megfelelően egy $T=1/f_s$ hosszúságú periódus alatt egyszer viszi át ezt a töltésmennyiséget a két csomópont között. A töltés áramlás definíciószerűen áramot jelent, s így azt mondhatjuk, hogy a rezgő kapacitás hatására áram folyik a két pont között. Ha a két csomópont frekvenciájához képest sokkal (10-100-szor) gyorsabban kapcsolgatjuk a kapacitást, $U_1$ és $U_2$ között az átfolyó áram átlagos értéke \begin{equation} I_{ekv}\simeq \frac{\Delta Q}{T}=\Delta Q \cdot f_s=f_s \cdot C (U_1-U_2). \end{equation} A két pont feszültség-különbsége és az átfolyó áram hányadosaként definiálhatunk egy $R_{ekv}$ ekvivalens ellenállást, amelyet a továbbiakban az áramkör jellemzésére használhatunk. \begin{equation} R_{ekv}=\frac{U_1-U_2}{I_{ekv}}=\frac{1}{C_1 \cdot f_s} \end{equation}
Egy kapcsolt kapacitású áramkör működésének alapos vizsgálatához vegyünk egy egyszerű blokkot, az invertáló, veszteséges, kapcsolt kapacitású integrátort (. ábra). (A kapcsolás a „switch sharing” – „kapcsolón való osztozás” elve alapján egyszerűsíthető\cite{principles}, mivel $C_1$ és $C_2$ egymás felé néző fegyverzetei ugyanabban a fázisban kapcsolódnak vagy az invertáló bemenetre, vagy a földre, ezért $C_2$ baloldali kivezetése közvetlenül $C_1$ jobb oldali kivezetéséhez köthető, és két tranzisztor fölöslegessé válik.
Ezzel a módszerrel sok esetben lehet egyszerűsítéseket végrehajtani. Ideális ellenállásokkal a hálózatra vonatkozó differenciálegyenletről az s-tartományba áttérve és megoldva azt a folytonos s-tartománybeli átvitel \begin{equation}\label{eq:4} \frac{V_{ki}(s)}{V_{be}(s)}=-\frac{R_2}{R_1(1+sR_2C_F)}=-\frac{C_1}{C_F}\frac{f_c}{j\omega +f_c\frac{C_2}{C_F}} \end{equation} lenne, ahol $R_1$ és $R_2$ $C_1$ és $C_2$ kapcsolgatásából adódó ellenállások. Ez a levezetés itt azonban nem végezhető el, mivel a hálózat nem folytonos működésű. A működés pontos leírásához és a korrekt hálózatelméleti tárgyaláshoz meg kell vizsgálni az áramkör működését periódusról periódusra. Ezt segíti a . ábra, ahol az integrátor ekvivalensei láthatók $\Phi_1$ illetve $\Phi_2$ magas logikai értékére, az . ábra jelöléseit használva az $n$-edik, illetve az $\left(n-\frac{1}{2} \right)$-ik szakaszban.
A matematikai leíráshoz tegyük fel, hogy a bemenet egy periódus alatt pillanatszerűen egyszer vált értéket, $\Phi_1$ alatt. Így a következő $\Phi_2$ alatt a bemenet változatlan, azaz $v_{be}\left( n-\frac{1}{2} \right)=v_{be}(n-1)$. Az áramkör leírását $\Phi_1$ alatt a . a) ábra ekvivalensét felhasználva a neminvertáló csomópontra vonatkozó áramegyenlettel célszerű elvégezni: \begin{equation}\label{eq:5} i(t)=C_1\frac{dv_{be}}{dt}=-(C_F+C_2)\frac{dv_{ki}}{dt} \end{equation} Ahhoz, hogy töltésekre vonatkozó egyenletet kapjunk $(Q=CU)$, (\ref{eq:5})-öt ki kell integrálni \aref{fig:1}. b) ábra normalizált időtengelyén az előző, $\left(n-\frac{1}{2} \right)$-ik időponttól a jelenlegi, n–edik időpontig: \begin{equation}\label{eq:6} (C_F+C_2)v_{ki}(n)-(C_F+C_2)v_{ki}\left(n-\frac{1}{2} \right)=-C_1\left[v_{be}(n)-v_{be}\left(n-\frac{1}{2} \right) \right] \end{equation} Az egyszerűsítés a . b) ábra alapján adódik, amely szerint $C_1$ és $C_2$ töltése $\Phi_2$ alatt 0, ezért (\ref{eq:6}) így módosul: \begin{equation}\label{eq:7} (C_F+C_2)v_{ki}(n)-C_Fv_{ki}\left(n-\frac{1}{2} \right)=-C_1v_{be}(n) \end{equation} Továbbá mivel $\Phi_2$ alatt a műveleti erősítő és $C_F$ el vannak izolálva az előző, $(n-1)$-edik periódus óta, $v_{ki}\left(n-\frac{1}{2} \right)=v_{ki}(n-1)$. Ez annak is köszönhető, hogy $C_2$ leválasztása a kimeneti feszültséget nem változtatja meg. (\ref{eq:7}) tehát átírható az alábbi, végleges alakra: \begin{equation}\label{eq:8} C_F[v_{ki}(n)-v_{ki}(n-1)]+C_2v_{ki}(n)=-C_1v_{be}(n), \end{equation} amely a hálózat differencia-egyenlete. Ez diszkrét idejű hálózatot ír le, amelyet a mintavételezett z-tartományban lehet tárgyalni.
A kapcsolt kapacitás következtében egy kapcsolt kapacitású áramkör mintavételezett hálózatnak tekinthető. A mintavevő fázis (az előző példában $\Phi_1$) alatt némileg változik ugyan a bejövő jel értéke, átkapcsoláskor viszont a kapacitás az adott végső értéken van, tehát jóformán érdektelen, hogy milyen kis mértékben változott a töltése a mintavevő szakaszban. Ennek megfelelően a hálózat a bemeneti jelet mintavételezi és úgy dolgozza fel. A folyamat matematikailag úgy írható le, hogy a bemeneti belépő $x(t)$ jelet megszorozzuk egy mintavevő $s(t)$ (sampling) jellel. A mintavevő jel egy periódusban általános esetben $\tau$ ideig végzi a mintavételezést. Eszerint a mintavett jel időbeli leírása a következő: \begin{equation} x_s(t)=x(t)s(t)=K\sum^{\infty}_{n=0}x(nT)[\varepsilon (t-nT)-\varepsilon (t-nT-\tau)] \end{equation} ahol $\varepsilon (t)$ az egységugrás függvény. A $K$ szorzó értéke $1/\tau$, ezzel normalizáljuk azonos teljesítményre a mintavételezett jelet. Mivel ez folytonos időtartománybeli leírás, elvégezhető rajta a Laplace-transzformáció: \begin{equation}\label{eq:10} X_s(s)=\mathscr{L}\{x_s(t)\}=K\sum^{\infty}_{n=0}x(nT)\left(\frac{1}{s}e^{-snT}-\frac{1}{s}e^{-(snT+\tau)} \right)=\frac{1}{\tau}\frac{1-e^{-s\tau}}{s}\sum^{\infty}_{n=0}x(nT)e^{-snT} \end{equation} A szummázás előtti állandó a $\tau$ mintavételező pulzus hosszától függ, $\tau$ értéke azonban általában annyira kicsi, hogy a határértékszámítást elvégezve az állandó $1$-nek adódik. Figyelembe véve, hogy egy mintavevő pulzus integrálja $1$, és a $\tau$ időtartam $0$-hoz tart, az $s(t)$ mintavevő jel jó közelítéssel Dirac-delták sorozatának tekinthető. Ez (\ref{eq:10})-ből is látszik, hiszen a szummázáson belül minden $e$-ados tag egy $nT$ idővel eltolt Dirac-delta. (\ref{eq:10}) átírható: \begin{equation} X_s(s)=\sum^{\infty}_{n=0}x(nT)e^{-snT}=\sum^{\infty}_{n=0}x(nT)z^{-n}, \end{equation} ahol bevezettük a $z=e^{sT}$ változót. Ez az $x_s(t)$ jel egyoldalas $z$-transzformáltja, ahol a $T$ periódusidő érdektelen, ezért elhagyható (vagy egy más felfogás alapján értéke elméletben $1$-nek vehető). Az új jelöléssel, ahol a $z$-transzformáció szimbóluma is jelölve van: \begin{equation}\label{eq:12} \mathscr{L}\{x(nT)\}=\mathscr{Z}\{x(n)\}=X(z)=\sum^{\infty}_{n=0}x(n)z^{-n} \end{equation} Mivel a frekvenciatartománybeli viselkedés a vizsgálatunk legfőbb témaköre, nézzük meg, hogy mit okoz a mintavételezés a frekvenciatartományban. Az $s(t)$ mintavevő jel Fourier-sora: \begin{equation} s(t)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}C_ke^{jk\omega_ct}, \end{equation} ahol $\omega_c=\frac{2\pi}{T}$ a mintavételi körfrekvencia és \begin{equation} C_k=\frac{1}{T}\int^{+\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}{s(t)e^{-jk\omega_ct}dt}=\frac{1}{T}\int^{+\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}{\delta(t)e^{-jk\omega_ct}dt}=\frac{1}{T}, \end{equation} így \begin{equation} F\{x_s(t)\}=F\{x(t)s(t)\}=F\left\{\frac{1}{T}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}x(t)e^{-jk\omega_ct} \right\}=\frac{1}{T}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}F\left\{x(t)e^{-jk\omega_ct} \right\} \end{equation} A mintavételezett jel spektruma tehát: \begin{equation}\label{eq:16} X_s(j\omega)=\frac{1}{T}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}X[j(\omega-k\omega_c)] \end{equation} (\ref{eq:16}) következménye, hogy a bemeneti $x(t)$ jel alapsávi spektruma a mintavételezés következtében feltranszformálódik az $\omega_c$ mintavételi frekvencia egész számú többszöröseire. Ebből az következik, hogy az $\omega_B$ sávszélességű bemeneti jelet (. a) ábra) Shannon mintavételezési törvénye szerint legalább $2\omega_c$ körfrekvenciával kell mintavételezni (. c) ábra), hogy elkerüljük a többszöröződött spektrumok átlapolódását (. b) ábra).
Ez a feltétel a gyakorlatban több szempontból kifolyólag is teljesül. A mintavételi frekvenciát a sávszélesség többszörösére választják, hogy az áramkör a folytonos működést minél inkább közelítse (ld. ). Másrészt a gyakorlati bemenő jelek nem sávhatároltak, $\omega_B$ felett ha máshonnan nem is, zajforrásokból származó komponenseket tartalmaznak. Ez a tartomány $\omega_c$ többszörösére felkeveredve éppen az alapsávba kerülhet. Ennek megelőzésére a szűrő bemenetén egy ún. anti-aliasing aluláteresztő szűrőt helyeznek el, amely $\omega_B$–ig átereszt, afölött vág. Ha $\omega_c$ jóval nagyobb, mint $\omega_B$, az anti-aliasing szűrőnek sokkal enyhébb specifikációnak kell megfelelnie, jóval tágabb lesz az átmeneti tartománya, így első- vagy másodfokú aktív szűrő, de akár egy RC-tag is el tudja látni ezt a feladatot. Mindezekből következik, hogy a kapcsolt kapacitású áramkör kimenetére is el kell helyezni egy egyszerű szűrőt, amely a többszöröződött spektrumokat kiszűri, és csak alapsávban enged át. $\omega_c$ tekintetében tehát a kimeneti helyreállító (reconstruction) szűrő szempontjából is előnyös a túlmintavételezés.
A kimeneti szűrés a kimeneti jel lépcsőzöttségét is enyhíti. A lépcsőzöttség abból adódik, ahogy az integrátor példáján láttuk, hogy $\Phi_2$ alatt a kimenet nem változott, tartotta kiindulási értékét. A mintavételezés tehát együtt jár a tartással is, a kapcsolt kapacitású rendszer hálózatelméleti felépítését ábrázoló blokkdiagram ezért ki- és bemeneti elméleti mintavevő-tartó (S/H: Sample and Hold) egységgel egészül ki (. ábra). (A valóságban az S/H blokkok magában a kapcsolt kapacitású hálózatban realizálódnak.)
A kimeneten viszont nem a . c) ábrának megfelelő azonos súlyú spektrumok közül kell szűrni. A tárgyalás során (\ref{eq:10}) szummációs indexe előtti tagot $1$-el közelítettük. A kifejezésben $s$-sel, a valós frekvenciatartományba való áttérés után $j\omega$-val való szorzás is van. Az alapsávban a közelítés jogos volt, $\omega_c$ többszörösein viszont a kifejezés $1$-től való eltérése számottevővé válik. A kifejezésben $\tau$-t $T$-vel lehet helyettesíteni, mivel a mintavételezés után a vett érték $T$ ideig nem változik, így a kifejezést átírva, képletesen az elméleti S/H egység átvitele: \begin{equation} H_{S/H}(s)=\frac{1-e^{-sT}}{sT}, \end{equation} ami a $j\omega$ tengelyen így módosul: \begin{equation} H_{S/H}(j\omega)=\frac{1-e^{-j\omega T}}{j\omega T}=\frac{e^{j\omega\frac{T}{2}}-e^{-j\omega\frac{T}{2}}}{j\omega T}e^{-j\omega\frac{T}{2}}=\frac{\sin{\left(\frac{\omega T}{2} \right)}}{\frac{\omega T}{2}}e^{-j\omega\frac{T}{2}} \end{equation} Az S/H funkció miatt tehát a rendszer átvitele a $\sin(x)/x$ függvény szerint súlyozódik. Ennek a hatása a mintavételi frekvencia többszörösein válik láthatóvá, ahogy a . ábra is mutatja, ahol a kimeneti spektrum látható, a helyreállító szűrő bemenetén.
Mivel a kapcsolt kapacitású szűrőt folytonos jel szűrésére használják, a folytonos szűrőkre kidolgozott közelítési eljárások használatosak kapcsolt kapacitású szűrő karakterisztikájának specifikálásakor is. De hogy módosítja az eljárást azt, hogy a kapcsolt kapacitású hálózat korrekt leírása a z-tartományban történik?
Az $s$-tartomány változója $s=\sigma +j\omega$, az $s$- és $z$-tartomány közötti áttérés definíciója \begin{equation}\label{eq:19} z=e^{sT}=e^{\sigma T}e^{j\omega T} \end{equation} $z$ abszolút értéke \begin{equation} |z|=e^{\sigma T}, \end{equation} ami $\sigma < 0$ esetén ($s$ a baloldali síkon van a . ábrán) $|z| <1$-et eredményezi. Valós, fizikai frekvenciákra $(\sigma =0, s=j\omega)$ \begin{equation} |z|=|e^{j\omega T}|\equiv 1 \end{equation} Tehát (\ref{eq:19}) az $s$-sík $j\omega$ tengelyét a $z$-síkban az egységkörre képezi le, az $s$-sík bal felét pedig az egységkörön belülre. Az $s$-sík jobb oldala a $z$-tartomány egységkörén kívülre képződik le. Így az egyik különbség, hogy a folytonos tartományban a $j\omega$ tengelyen megadott szűrő specifikációk az egységkörre kerülnek át a $z$-síkon, valamint a folytonos $s$-tartomány stabil pólusai a $z$- tartományban az egységkörön belül helyezkednek el.
A két tartomány között jelentős eltérés fakad abból, hogy (\ref{eq:19}) leképezés $z$-t periodikussá teszi, ugyanis (\ref{eq:19}) kitevőjéhez $j2\pi m$-et adva $z$ nem változik, ahol $m$ bármilyen egész szám. Ezért (\ref{eq:19}) leképezés az $s$-tartománynak csupán egy vízszintes szeletét viszi át, amelyre igaz, hogy $|\omega |<\frac{\omega_c}{2}$. Az $s$-sík további részeinek leképzéséhez további $z$-síkok szükségesek, mivel ezek a tartományok ugyanazon a $z$-síkon átlapolnák egymást.
A kapcsolt kapacitású veszteséges, invertáló integrátor (\ref{eq:8}) differenciaegyenletéből könnyen képezhető a hálózat $z$-tartománybeli átvitele, ha alkalmazzuk azt a szabályt, miszerint a normalizált időtengelyen az $l$ periódussal történő eltolás megfelel a $z^{-l}$-lel való szorzásnak a $z$-tartományban. Így (\ref{eq:8})-ra alkalmazva a $z$-transzformációt: \begin{equation} C_F[v_{ki}(z)-z^{-1}v_{ki}(z)]+C_2v_{ki}(z)=-C_1v_{be}(z) \end{equation} Ebből rendezés után az átvitel: \begin{equation} \frac{V_{ki}(z)}{V_{be}(z)}=-\frac{C_1}{C_F}\frac{1}{1-z^{-1}+\frac{C_2}{C_F}}=-\frac{C_1}{C_F}\frac{\frac{1}{T}}{\frac{1}{T}(1-z^{-1})+\frac{1}{T}\left(\frac{C_2}{C_F} \right)}, \end{equation} ahol az $\frac{1}{T}$-vel való szorzás a következő közelítés miatt szerepel: ha $|sT|\ll 1$, azaz $\omega\ll \omega_c$, jó közelítéssel érvényes $e^{-sT}\simeq 1-sT$, így \begin{equation}\label{eq:24} \frac{1}{T}(1-z^{-1})\simeq \frac{1}{T}(1-1+sT)=s \end{equation} Ezt felhasználva (\ref{eq:12})-ben \begin{equation} \frac{V_{ki}(e^{j\omega T})}{V_{be}(e^{j\omega T})}=-\frac{C_1}{C_F}\frac{f_c}{j\omega +f_c \frac{C_2}{C_F}}, \end{equation} ahogy ez (\ref{eq:4})-ben is szerepelt.
Tehát ha megfelelően nagy mintavételi frekvenciát választunk, (\ref{eq:24}) alapján a mintavételezett hálózat közelítőleg folytonos működést fog szolgáltatni. Más megközelítésből ha $\omega_c \rightarrow \infty$, a mintavételezett spektrumban a többszöröződött spektrumok is végtelenhez tartanak, így visszajutunk az alapsávi spektrumhoz. A folytonossal közelített és a $z=e^{sT}$ egyenlőséggel megfeleltetett $s$-tartománybeli átvitelek között levezethető\cite{designanalogf} a \begin{equation} \Delta H \sim 1-\frac{\frac{\omega T}{2}}{\sin{\left(\frac{\omega T}{2} \right)}} \end{equation} erősítési hiba és a \begin{equation} \Delta \varphi \sim \frac{\omega T}{2} \end{equation} fázishiba, amelyek $\omega T=\frac{\omega}{\omega_c} \rightarrow 0$, azaz $\omega_c \gg \omega$ esetén szintén $0$-hoz tartanak.
Mindezek után már csak azt kell tudni, hogyan adható meg a specifikáció a $z$-tartományban jellemzett kapcsolt kapacitású szűrőre. Ami eddig ismert, az az, hogy $z=e^{sT}$ összefüggéssel térünk át a mintavételezett frekvenciatartományból a $z$-tartományba, amely a $-\frac{\omega_c}{2}$-től $\frac{\omega_c}{2}$-ig terjedő tartományt túllépve periodikusan ismétlődik, nem hordoz új információt. Használjuk $s$-t ennek a tartománynak a változójaként! A szűrési feladat a megkülönböztetésül $f$ index-szel ellátott $s_f(\omega_f)$ folytonos tartományban van megadva, amely $-\infty$-től $+\infty$-ig terjed. Tehát egy olyan leképezést kell találni a két tengely között, amely a $(-\infty ;+\infty )$ intervallumot periodikusan átviszi a $[-\frac{\omega_c}{2};+\frac{\omega_c}{2}]$ intervallumba. Ilyen leképezést nem nehéz találni, a tangens függvény megfelelő erre a célra (. ábra).
A módszer hasonló a normál analóg szűrők tervezésekor alkalmazott frekvencia transzformációhoz, itt a transzformációs függvény: \begin{equation}\label{eq:28} \omega_f=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega T}{2} \end{equation} ahol az $\frac{1}{T}$ tag bevezetése biztosítja, hogy $\omega T\ll 1$ esetén: \begin{equation} \omega_f=\frac{2}{T}\tan\left.\frac{\omega T}{2}\right|_{\omega T \ll 1} \simeq \frac{2}{T}\frac{\omega T}{2}=\omega \end{equation} A transzformációval a kiindulási folytonos frekvenciatengely „elferdül” (warping). Most már levezethető a specifikációban szereplő $s_f$ és a mintavételezett $z$ változó közötti átmenetet biztosító kifejezés: \begin{equation} \tan\frac{\omega T}{2}=\frac{\sin{\frac{\omega T}{2}}}{\cos{\frac{\omega T}{2}}}=\frac{\frac{1}{2j}\left(e^{j\omega \frac{T}{2}}-e^{-j\omega \frac{T}{2}} \right)}{\frac{1}{2}\left(e^{j\omega \frac{T}{2}}-e^{-j\omega \frac{T}{2}} \right)}=\left. \frac{1}{j}\frac{z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{2}}+z^{-\frac{1}{2}}} \right|_{s=j\omega} \end{equation} Ezért (\ref{eq:28})-at felhasználva következik, hogy \begin{equation} j\omega_f=\left. \frac{2}{T}\frac{z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{2}}+z^{-\frac{1}{2}}} \right|_{s=j\omega}, \end{equation} amiből az áttérést biztosító, ún. bilineáris transzformáció: \begin{equation}\label{eq:32} s_f=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}~~~ \mathrm{vagy} ~~~ z=\frac{1+s_f\frac{T}{2}}{1-s_f\frac{T}{2}} \end{equation} Összefoglalásul: a folytonos tartományban megadott specifikáció és a $z$-tartomány között (\ref{eq:32}) létesít kapcsolatot, a kiindulási és a mintavételezett folytonos tartomány között pedig (\ref{eq:28}). Mivel a bilineáris transzformáció racionális, a folytonos tartományban közelítéssel kapott racionális átviteli függvény közvetlenül a $z$-tartományba is racionális függvényként képződik le, ezért a specifikáció (\ref{eq:32}) behelyettesítésével átvihető a $z$-tartományba. Ha a szemléletesebb $s$-tartományban kívánjuk felírni a specifikációt, amely szintén a mintavételezett, periodikusan ismétlődő tartomány (. ábra), csak nem $z$-, hanem $s$-változóval, akkor a kiindulási specifikáció összes pólus- és zérusfrekvenciáját (\ref{eq:28}) segítségével kell áttranszformálni. Ezt hívják „előferdítésnek” (prewarping), mivel figyelembe vesszük, hogy a mintavételezett $s$-tartomány jellemző, $-\frac{\omega_c}{2}$-től $+\frac{\omega_c}{2}$-ig terjedő része nem olyan széles, mint a $-\infty$-től $+\infty$-ig terjedő folytonos $s_f$-tartomány. Prewarping esetén a specifikáció jellemző frekvenciaértékeit, a pólusokat és a zérusokat a tangenstranszformációval bezsugorítjuk ebbe a szűkebb tartományba. Ez a frekvenciatranszformáció sem befolyásolja a specifikáció egyéb jellemzőit, mint például az ingadozást és a meredekséget, mivel (\ref{eq:28}) független változók közti transzformáció.
Léteznek más, egyszerűbb leképezési szabályok is\cite{sccircuits}, azonban ezek nem a . ábra szerint teremtenek kapcsolatot az $s$- és a $z$-tartomány között. Adott gyakorlati esetben ezeknek is lehet létjogosultságuk.
A kapcsolt kapacitású szűrő megvalósítására több topológia is létezik, jelen alkalmazáshoz én kettőt emeltem ki. Mielőtt már a konkrét kapcsolt kapacitású struktúrát tárgyalnám, feltétlenül ki kell térni az eredeti folytonos idejű kapcsolásokra, mert azok tulajdonságai öröklődnek a végső diszkrét idejű szűrőbe. A tervezés első fázisában a méretezést ezekre a kapcsolásokra célszerű elvégezni és nagyban segítik a kapcsolt kapacitású struktúra működésének a megértését.
A szűrők megvalósításának évszázados módszere a diszkrét passzív alkatrészekből összeállított hálózat. Számos előnye ellenére (kis zaj, tetszőleges feszültségszintek, nagyfrekvenciás működés, minimális teljesítményveszteség) a modern mikroelektronikában változatlan formában nem használható, mivel jelentős hátrányai vannak. Az induktivitás monolit megvalósítása nagy helyet igényel és a jósági tényezője rossz. Az integrált technológiában induktivitás nélkül célszerű megkonstruálni a szűrőt. Induktivitás nélkül viszont a konjugált komplex póluspárok csak ellenállásokkal és kapacitásokkal nem valósíthatók meg\cite{hainzmann}. A megoldást az aktív szűrő nyújtja, amely műveleti erősítők, kapacitások és ellenállások megfelelő összekapcsolásával adja a karakterisztikát, ezért szokás aktív-RC szűrőnek is nevezni. A konjugált komplex párok a visszacsatolásnak köszönhetően realizálhatóvá válnak.
Egy magasabb rendű átviteli függvény esetén az alkatrészértékek és az átviteli függvény együtthatóinak megfeleltetése bonyolulttá és hosszadalmassá válik. Ezért az átviteli függvényt általában másodfokú tagokra bontják és ezeket valósítják meg úgynevezett biquad áramkörökkel, amelyeket kaszkád vagy párhuzamos kapcsolásba kötnek.
A másodfokú tag átvitelét megvalósító hálózatoknak számos fajtája létezik, alapeleme mindegyiknek vagy a műveleti erősítő, amit invertáló (Tow-Thomas biquad, Åckerberg-Mossberg biquad, stb.) és neminvertáló (Sallen-Key alaptag (. ábra)) kapcsolásban is használnak, vagy a transzkonduktancia erősítő (OTA: Operational Transconductance Amplifier), ami a $g_m-C$ (transzkonduktancia-$C$) szűrők építőeleme, amit a távközlésben középfrekvenciás szűrőnek használnak\cite{biblia}. Páratlan rendszám esetén a maradék elsőfokú kifejezést egy elsőfokú alaptaggal realizálják. A másodfokú alaptagokra bontás az eredő átvitelt nem befolyásolja, viszont felmerül a kérdés, hogy a tagok sorrendje milyen hatással van a működésre. Természetszerűleg az átvitelt nem befolyásolja, a megvalósítható dinamika és az eredő zaj szempontjából viszont meghatározó a tagok sorrendje. A tagok között a $Q$ jóság alapján teszünk különbséget. A magasabb $Q$-val rendelkező tagok zajosabbak, ezért a láncban hátrébb foglalnak helyet. További fontos szempont az adott alaptag esetén az alkotóelemek fizikai megvalósítása során keletkező eltérésekkel szembeni tolerancia, ami szintén a $Q$ jósággal mutat összefüggést.
Induktivitásokat monolit technikával csak nehezen és igen korlátozottan tudunk előállítani. Ennek ellenére ebből a topológiából kiindulva jó minőségű kapcsolt kapacitású szűrőket tudunk előállítani, amint azt a későbbi fejezetekben tárgyalni fogom.
Az $LC$ szűrők koncentrált paraméterű induktivitásokból, kapacitásokból és lezáró ellenállásokból álló passzív hálózatok. Szokásos kapcsolási elrendezésük az átmenő földvezetékű létrahálózat. Egy ilyen struktúra látható a . ábrán.
Az ezen ábrán látható hálózat csak pólusokból álló átviteli függvényt valósít meg. A pólusok $n$ száma megegyezik a reaktáns elemek számával. Ha a megvalósítandó referens aluláteresztő hálózat átvitelének zérusai is vannak, akkor a kapcsolás előrevezető ágát párhuzamos, vagy a föld felé vezető ágát soros rezgőkörré kell kiegészíteni. Így a rezonanciafrekvencián megszűnik a hálózat átvitele, tehát létrejön egy zéruspár. A Cauer approximáció referens aluláteresztő szűrője ennek megfelelően a . ábra szerinti felépítésű.
Az $LC$ szűrő minimális számú alkatrészből épül fel, kedvező toleranciaérzékenységű, tápfeszültséget nem igényel, belső zaja kicsi, ugyanakkor az induktivitások megvalósítása viszonylag drága, helyfoglalása nagyobb, mint az $RC$ elemeké, mágneses zavaró jelekre érzékeny, és a kivezérelhetőséget a vasmag nemlinearitása korlátozza.
Az aktív RC szűrők használata számos előnnyel jár. Nincs szükségünk induktivitásokra tetszőleges átvitel megvalósításához. Ezzel a passzív szűrők legkényelmetlenebb részét sikerült kiküszöbölni, mert ez foglalja el a legtöbb helyet az áramkörben, és ez az elem a legdrágább is. A legegyszerűbb aktív RC szűrőkapcsolás az úgynevezett Salen-Key kapcsolás. Ebben még csekély kompenzáció van, enyhébb kritériumoknak megfelelő szűrőket lehet vele igazán jól megvalósítani.
Szigorúbb specifikációk teljesítésére alkalmasak a biquad áramkörök. Ez a kapcsolástechnika hatalmas irodalommal rendelkezik, ezért nem lehet róla teljesen átfogó képet adni, de néhány alapelv megfogalmazható, hogy általában mit várunk el egy biquad áramkörtől.
A tervezéshez a Tow-Thomas biquadot válasszuk. Ennek zavar- és elem értékekből adódó szórásérzékenysége jó, valamint egyszerűen méretezhető. A másik előnye a topológiájából adódik, amit a kapcsolt kapacitású technikával lehet kihasználni, ezt a -es fejezetben részletesen is kifejtem.
Néhány kapcsolási struktúra esetében lehetőség van arra, hogy kihasználjuk a kapcsolt kapacitású hálózatok tulajdonságai. Az egyik ilyen tulajdonság a már korábban említett switch sharing. Ekkor ha két kapacitás egymás felé néző fegyverzetei ugyanabban a fázisban kapcsolódnak, akkor kapcsoló tranzisztorokat spórolhatunk meg. A másik jelentős tulajdonság, hogy a hálózat viselkedése szempontjából negatív ellenállásként viselkedő elemeket tudunk megvalósítani a . b) ábrán látható ellenfázisban járatott földfüggetlen kapcsolt kapacitású elemekkel\cite{biqvscc}. Ennek segítségével és alkalmas megfeleltetéssel műveleti erősítőket spórolhatunk meg, ami a kevesebb aktív elemnek köszönhetően alacsonyabb fogyasztást fog eredményezni.
A létrahálózatos LC kapcsolt kapacitású hálózatként való megfeleltetéséhez először ki kell térni a hagyományos RC integrátor megfeleltetésére.
A . ábrán látható integrátor átviteli függvénye: \begin{equation} H(\omega)=-\frac{\omega_0}{j\omega} \end{equation} ahol $\omega_0=\frac{1}{R_1C_2}$ az integrátor sávszélessége. Az integrátor kapcsolt kapacitású változata a . a) ábrán látható. Egyszerűen lecseréltük az $R_1$ ellenállást a $C_1$ kapacitásra, ekkor a kapcsolt kapacitú integrátor sávszélessége: \begin{equation} \omega_0=\frac{1}{R_{eff}C_2}=f_c\cdot \left(\frac{C_1}{C_2}\right) \end{equation} Látható, hogy a kapcsolt kapacitású integrátor sávszélességét a kapacitások arányával tudjuk beállítani, amit a monolit technikában nagy pontossággal tudunk előállítani\cite{ladderlc}. Differenciális bemenetű integrátort is könnyen tudunk készíteni kapcsolt kapacitásokkal, ez látható a . b) ábrán. Ekkor $C_1$ a két bemenet különbségére töltődik az órajelperiódus első felében. Amikor $C_1$ felső kapcsa a műveleti erősítő bemenetére, alsó kapcsa a földre kapcsolódik, $Q_t=C_1(U_{in1}-U_{in2})$ töltést fog tartalmazni.
A létrahálózatok tervezésének az egyik legkényelmesebb módja, ha a hálózatot differenciálegyenletekkel írjuk le, aminek egy képszerű leírására szolgál a jelfolyam gráf. A gráf hasonlóan az áramkör kapcsolási rajzához csomópontokat tartalmaz mind a feszültségekhez, mind az áramokhoz\cite{sczold}. A csomópontokat összekötő ágak reprezentálják az áramkör minden egyes elemének az átviteli függvényét. Rendszerint az adott áramkörnek több helyes jelfolyam gráf reprezentációja van, amelyek különböző áramköri megvalósításokat igényelnek. A cél az, hogy úgy alakítsuk át a jelfolyam gráfunkat, hogy a létrejövő reprezentációt realizálni tudjuk kapcsolt kapacitású technikával. Egy egyszerű mód egy hálózat gráfjának meghatározására, ha minden feszültséghez és minden áramhoz létrehozunk egy csomópontot, majd összekötjük őket egymással a megfelelő impedanciákkal, vagy admittanciákkal. Ezek meghatározásához a Kirchoff csomóponti potenciálok és a hurokáramok módszerét kell használni. Számos módszer és szabály található az irodalomban\cite{flowgraph} arra, hogy a gráfunkat le tudjuk redukálni a megfelelő formára.
A korábban ismertetett eszközök segítségével az átláthatóság kedvéért egy ötödfokú csak pólusokból álló aluláteresztő LC szűrő kapcsolt kapacitású szűrővé való alakítását mutatom be.
A . ábrán látható az átalakítandó kapcsolás, amin minden feszültség és áram, valamint az elemek paraméteres értéke fel van tüntetve. Az összes csomóponti és hurokegyenlet csak integrátorokat tartalmaz: $$U_0=U_{in}-U_1 ; I_0=\frac{U_0}{R_1} ; I_1=I_0-I_2 ; U_1=\frac{1}{sC_1}I_1 ; U_2=U_1-U_3 ; I_2=\frac{1}{sL_2}U_2 ; I_3=I_2-I_4$$ $$U_3=\frac{1}{sC_3}I_3 ; U_4=U_3-U_5 ; I_4=\frac{1}{sL_4}U_4 ; I_5=I_4-I_6 ; U_5=\frac{1}{sC_5}I_5 ; U_6=U_5 ; I_6=\frac{U_6}{R_2};U_{out}=U_6$$ Ezeket az egyenleteket reprezentáló gráf a . a) ábrán látható. A jel útjával definiálhatjuk a csomópontokat (feszültség és áram). Minden nyilra ráírtam azt a faktort, amivel az egyik csomópont a másikra hat, ez tulajdonképpen az adott út erősítése. Ha egy csomópontnak több bemenete van, akkor azt úgy kell tekinteni, hogy összegződnek a bejövő jelek. Ebben a gráfban az áramokat reprezentáló csomópontok integrálásokat eredményeznek, amiknek mindkét oldalán feszültség és áram van. A valóságban feszültség vezérelt feszültség forrásokat (műveleti erősítőket) akarunk használni integrátornak. Elengedhetetlen, hogy az áram csomópontokat feszültség csomópontokká transzformáljuk. Ezt úgy érhetjük el, hogy az áram csomópontokat egy $R$ ellenállás paraméterrel bővítjük, így ezután az $I_i$ áramot a $U_i=RI_i$ feszültség fogja reprezentálni. Ternmészetesen, hogy ne változzon a feszültség és áram csomópontok közötti viszony, az erősítési faktort is bővíteni kell egy $R$ paraméterrel (. b) ábra).
A kapacitáságak miatt kompromisszumra kényszerülünk, mert ott a nevezőbe került $R$ miatt a szűrő dinamika tartománya változik. Általában jó kompromisszum, ha $R$ értékét $1\Omega$-ra választjuk, ekkor az integrátorok időállandóit az eredeti $L$ és $C$ értékek határozzák meg\cite{ladderlcc}. A paraméterbővítéssel a lezárások is megváltoztak ($\frac{R}{R_1},\frac{R}{R_2}$). $R_1$ és $R_2$ optimális megválasztása nagyon sok paramétertől függ, most az egyszerűség kedvéért ezeket is $1\Omega$-nak veszem.
A létrejött . b) gráf, csak egy a számtalan megoldás közül, például differenciáló tagokkal is meg lehetett volna oldani, de ez a változat felel meg a legjobban a kapcsolt kapacitású megvalósíthatóságnak. A gráfon látszik, hogy az alap építő elem a . b) ábrán látható differenciális integrátor. Ha öt ilyen integrátort a jelfolyam gráfon látható módon összekötünk, akkor eredményül a kész kapcsolt kapacitású áramkört kapjuk. Ez a . ábrán látható.
Már csak az egyes elemek értékének a meghatározása maradt hátra. A passzív prototípus értékei a következők: $R_1=R_2=R=1\Omega, C_1, L_2, C_3, L_4$ és $C_5$. A kapcsolt kapacitású szűrőben konzekvensen használva a jelöléseket: $C_{C_1}, C_{L_2}, C_{C_3}, C_{L_4}$ és $C_{C_5}$. $C_u$ az integrátor fix kapacitása, amivel a korábban látható módon a kapacitásarányt be tudjuk állítani. Így a paraméter egyenletek: $$\frac{C_{C_1}}{C_u}=\frac{f_cC_1}{\omega_{c0}};\frac{C_{L_2}}{C_u}=\frac{f_cL_2}{\omega_{c0}};\frac{C_{C_3}} {C_u}=\frac{f_cC_3}{\omega_{c0}};\frac{C_{L_4}}{C_u}=\frac{f_cL_4}{\omega_{c0}}; \frac{C_{C_5}}{C_u}=\frac{f_cC_5}{\omega_{c0}}$$ ahol $\omega_{c0}$ a szűrő vágási frekvenciája, $f_c$ a kapcsolt kapacitások kapcsoló frekvenciája.
Zérus bevitele a rendszerbe sok approximáció megvalósítása miatt fontos. Zérus hozzáadása az $RLC$ aluláteresztő prototípushoz a korábban már ismertetett módon nagyon egyszerű. A most következőkben egy harmad rendű szűrőn mutatom be, hogy lehet a kapcsolt kapacitású struktúrába zérust bevinni. A prototípus a . ábrán látható.
A $C_2$-vel bevitt zéruspont a $C_2L_2$ párhuzamos rezgő kör rezonancia frekvenciája, ami $\omega_{zero}=\frac{1}{\sqrt{L_2C_2}}$. A jelfolyam gráfja ennek a hálózatnak nem olyan egyszerű, mint a csak pólusos esetben. A gráf meghatározás hagyományos megközelítése csak a folytonos idejű aktív RC hálózattal történő realizáláshoz használható, mivel feszültség-osztókat tartalmaz. Ez nem kívánatos a kapcsolt kapacitású implementációba, mert további műveleti erősítőket igényelne.
Olyan kapcsolt kapacitású szűrő tervezéséhez ami tartalmaz zérust nem kellenek további műveleti erősítők, vizsgáljuk meg azokat a műveleteket, amiket a létra struktúrába illesztett kapacitás okoz. A . ábrán látható kapcsoláson a feszültségek és az áramok be vannak jelölve. Használjuk Kirchoff áram törvényeit az $A$ és $B$ csomópontokra. A következő egyenletek a $C_2$ áramkörbeli funkciójának megértését segítik: \begin{equation} V_1=\frac{I_0-I_2}{s(C_1+C_2)}+V_3\left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right) \end{equation} \begin{equation} V_3=\frac{I_2-I_4}{s(C_2+C_3)}+V_1\left(\frac{C_2}{C_2+C_3}\right) \end{equation} Ezek szerint $C_2$ úgy viselkedik, mint egy olyan elem, ami az $U_3$-ra és az $U_1$-re szintén hat oda-vissza. Ez látható szimbolikus jelöléssel a . ábrán.
Zérus pár implementálásához az integrátor időállandóját szükséges változtatni, amit a sönt kapacitás reprezentál a kapcsolásban. A dolgunk annyi, hogy létrehozunk egy oda- és egy visszacsatoló ágat, ami tökéletesen szimulálja a kapacitásunkat. A kapcsolt kapacitású implementációban az integrátor időállandóját könnyen meg tudjuk változtatni a kapacitás-arányának megváltoztatásával. Azonban az új ágak, amik összekötik $U_1$-et és $U_2$-t (. ábra), ismét problémát vetnek fel, ugyanis mindkettő feszültség egy-egy műveleti erősítő kimenete, és úgy tűnik, hogy nem lehet megoldani csak járulékos műveleti erősítő hozzáadásával.
A . ábrán látható kapcsolás segítségével lehet megoldani a problémát felesleges műveleti erősítő hozzáadása nélkül. Az áramkör egyszerű mintavételezett integrálást hajt végre az $U_in$ bemeneten, és emellett az $U_x$ bemenetet folytonosan szorozza egy konstanssal, majd hozzáadja a kimeneten $U_{in}$-hez.
Mivel $C_2$-nek és $C_3$-nak is az egyik oldala a műveleti erősítő virtuális föld pontján van, ezért $C_3$ töltése $Q_3=C_3U_x$, valamint a kimenet \begin{equation} U_{out}=-\frac{Q_3}{C_2}=-\left(\frac{C_3}{C_2}\right)U_x \end{equation} Habár az összegzés folytonos, a szűrőben $U_x$ egy másik integrátorból származik, aminek a kimenete csak minden órajel-periódusban egyszer változik. Az integrátor/összegzőt használva a hagyományos integrátorok helyén $C_1$-hez és $C_3$-hoz (most $(C_1+C_2)$ és $(C_2+C_3)$ a . ábrán), hozzá adtuk a szükséges kiegészítéseket az $U_1$ és $U_3$ csomópontokhoz. Mivel az összegzések előjel váltásokat okoznak, ezért kis módosításokat kell a jelfolyam gráfon eszközölni. Például, ha $U_1$ csomópont egy műveleti erősító kimenete, akkor egy olyan faktort kell beiktatni, hogy az $U_3$-al ellentétes előjele legyen a jelfolyam gráfban.
A most ismertetett módszerrel úgy tudunk zérust bevinni a rendszerbe, hogy a kapcsolásunkat a csak pólusokból állóhoz képest csak kicsit kell megváltoztatni. Az $RLC$ prototípus négy energiatároló elemet tartalmazott, a végső . ábrán látható kapcsolt kapacitású kapcsolás pedig csak három műveleti erősítőt.
Az alap Tow-Thomas topológiával megtervezett hálózat alacsony vágási frekvenciáknál nem realizálható egy az egyben, mert ha a kapacitások értékeit le is csökkentjük a megvalósítható tartományba, az így adódó $M\Omega$ és $G\Omega$ nagyságú ellenállásokat még HRS\cite{ams} technikával sem lehet realizálni. Ha ezeket az ellenállásokat le is szimuláljuk kapcsolt kapacitásokkal, még akkor is probléma, hogy egy műveleti erősítővel több van, mint ahányad fokú a szűrő, ami felesleges fogyasztást eredményez\cite{highqsc}. Az áramkör alkalmas átalakításával ezen változtatni lehet.
A . ábrán látható kapcsolás középső fokozata egy inverátó alapkapcsolás. Ez az $\frac{R}{R}$ arány miatt egy $-1$-es szorzó, vagyis olyan, mintha a mögötte lévő ellenállás negatív értékű lenne. Ezt figyelembe véve és a hálózatot átrajzolva a következő hálózat adódik.
Az eredeti Tow-Thomas átviteli függvénye: $$\frac{U_{ki}}{R}-\frac{\phi}{R}=0$$ $$U_{ki}=\phi$$ $$\frac{U_{ki}}{\frac{1}{sC}}+\frac{U_{ki}}{Q \cdot R}-\frac{\xi}{R}=0$$ $$U_{ki}\left( sCR+\frac{1}{Q} \right)=\xi$$ $$-\frac{\phi}{R}-\frac{U_{be}}{R}-\frac{\xi}{\frac{1}{sC}}=0$$ $$-\frac{U_{ki}}{R}-\frac{U_{be}}{R}-U_{ki}\left( sCR+\frac{sC}{Q} \right)=0$$ $$-U_{be}=U_{ki}\left( s^2C^2R^2 + \frac{sCR}{Q}+1 \right)$$ \begin{equation} \frac{U_{ki}}{U_{be}}=-\frac{1}{s^2C^2R^2 + \frac{sCR}{Q}+1} \end{equation}
Az átalakított kapcsolás átviteli függvénye: $$\frac{\phi}{R}-\frac{U_{ki}}{\frac{1}{sC}}-\frac{U_{ki}}{Q\cdot R}=0$$ $$\phi=U_{ki}\left(sCR+\frac{1}{Q} \right)$$ $$-\frac{U_{be}}{R}-\frac{\phi}{\frac{1}{sC}}-\frac{U_{ki}}{R}=0$$ $$-\frac{U_{be}}{R}-U_{ki}\left( s^2C^2R+\frac{sC}{Q}+\frac{1}{R} \right)=0$$ $$-U_{be}=U_{ki}\left( s^2C^2R^2+\frac{sCR}{Q}+1\right)$$ \begin{equation} \frac{U_{ki}}{U_{be}}=-\frac{1}{s^2C^2R^2 + \frac{sCR}{Q}+1} \end{equation} Látható, hogy a két átvitel megegyezik, tehát az átalakítás megfelelő. Ez azért előnyös, mert a negatív ellenállást a hálózat felé ellenütemben kapcsolt kapacitással lehet szimulálni (. b) ábra).
Ezzel a teljes kapcsolt kapacitású biquad egy műveleti erősítővel kevesebbet tartalmaz, mint az eredeti Tow-Thomas kapcsolás, így annyi műveleti erősítőre van szükség, ahányad rendű a szűrő.
Minden esetben, amikor egy integrált áramkört tervezünk, gyártás előtt szimulációkat kell végezni a félvezető gyár által adott HIT-KIT-ekkel. Ezek tartalmazzák a gyártó által készített eszközök paramétereit, és a gyártó vállalja is, hogy minden körülmény között az általa legyártott pl. MOS tranzisztor olyan paraméterekkel fog rendelkezni, amit a HIT-KIT-ben megadott. Ez kulcsfontosságú az analóg integrált áramkörök tervezésekor.
A kapcsolt kapacitású áramkörök egyik legnagyobb problémája, hogy csak tranziens analízis futtatható rajtuk. Ez annak köszönhető, hogy a kapcsolt kapacitások kapcsolóit pulzusgenerátorokkal kell meghajtani, ezzel lehet elérni a megfelelő viselkedést, azonban AC analízis során ezek a források dezaktivizálódnak, így az ekvivalens ellenállások helyén teljesen rossz ellenállások lesznek, és a kapott AC eredmény értékelhetetlen lesz.
A gyakorlatban a legelterjedtebb szimulálási mód az, ha a kapcsolt kapacitásokat makromodellekkel helyettesítjük. Egy ilyen makromodelt valamilyen harverleíró nyelvben szokás leírni, és a tervező rendszerek tartalmaznak is ilyeneket. Ezekkel a modellekkel az a probléma, hogy valamilyen harverleíró nyelvben íródott (pl. Verilogban), teljesen ideális, vagyis a szimulációban nem szerepelnek a gyártó által megadott tranzisztor paraméterek. Ezzel csak jellegre lehet egy szűrő működését meghatározni, de a pontos analízishez nem megfelelő.
Néhány neves külföldi egyetemen teszt IC gyártásával, és annak bemérésével vizsgálták a pontos működést, majd ha olyan eltérést tapasztaltak, ami már nem volt korrigálható a kapcsoló-frekvenciával, módosították a kapcsolást. Erre az iparban ritkán van lehetőség ezért egy másik módszert kell keresni.
A Columbia egyetemen fejlesztik a Switcap\cite{switcap} nevű programot, amivel kimondottan kapcsolt kapacitású hálózatokat lehet szimulálni. Ezzel a szimulátorral már pontosabb eredmény kapható, mint a makromodellek használatával, de ezzel továbbra is csak jellegi eredményeket kaphatunk, mert nem tudjuk figyelembe venni a másodlagos hatásokat (pl. nemlineáris kapcsoló ellenállás, töltés újramegosztás, slew-rate limit és back-gate bias effekt)
Hálózatelméletből ismert, hogy ha egy hálózatot adott frekvenciakomponensű gerjesztéssel gerjesztjük, és az így kapott választ Fourier transzformáljuk, akkor a kapott spektrumban a gerjesztés frekvenciájához tartozó amplitúdót megkapjuk\cite{hare}. Ebből az alapgondolatból indultam ki. Ha elvégezzük a tranziens szimulációkat úgy, hogy a bemeneten minden szimuláció után sweepel egyet a szinuszgenerátor frekvencia paramétere, akkor az így kapott transzformált válaszokból összeállítható az amplitúdókarakterisztika. Ez tulajdonképpen egy brute-force megoldása a problémának. Elméletileg a kapott ,,AC analízis'' felbontása a tranziens analízisek során használt sweep nagyságának változtatásával tetszőlegesen változtatható. Ennek sajnos az az ára, hogy hatalmas számítási mennyiséget kell elvégezni, és ez nagyon sokáig tart. Amennyire lehet párhuzamosíthatjuk a szimulációt. A számításigény nagyságát mutatja, hogy $0.1Hz$-től $60Hz$-i $0.1Hz$-es lépésekkel a laborban található pentium 4-es számítógépek közül 12 darab másfél óran keresztül számolt párhuzamosan. Jelen példában a kapcsolt kapacitások helyén normál ellenállások voltak, hogy az AC analízissel összevethető legyen az eredmény. Ez a . ábrán látható.
Látható, hogy az eredmény gyakorlatilag megegyezik az AC analízissel kapott válasszal, de az is látható volt, hogy ha ellenállások helyett a kapcsolt kapacitású elemeket rakom a hálózatba, akkor már nem lesz elég a labor összes tár és számítási kapacitása sem együtt, mert a kapcsoló-frekvencia 5kHz, ami lényegesen nagyobb, mint a szimulált bemeneti frekvencia. A pontos végeredményhez az kell, hogy a hálózat a kezdeti tranziens állapotból állandósult állapotba kerüljön, ezért eleve a tranziens szimulációt több, mint egy periódusig kell futtatni, valamint a szimulátorba megvalósított DFT függvény rekurzív módon van megvalósítva, így a pontossága nagyban függ a periódusok számától. Ennek ellenére megpróbáltam elindítani egyetlen frekvenciára a szimulációt, hogy nagyságrendileg lássam, hogy mennyire leküzdhetetlen az adott számítás. A nyolcad fokú elliptikus biquad szűrőkapcsolásban, amivel az eredeti ellenállásos tranziens szimulációt is végeztem, egyetlen ellenállást cseréltem le, és a labor 4 processzoros szerverén indítottam el. Amikor csak ellenállás volt a hálózatban, akkor egy frekvencia-komponens szimulálása átlagosan 30 másodpercig tartott, és $300\mathrm{MB}$ adatot eredményezett, amikor már egy kapcsolt kapacitás is a hálózatban volt, $15$ perc után sem jutott el a $10\%$-áig a szimulációnak, és $3\mathrm{GB}$ adatot hozott létre addig. Ezzel be kell látni, hogy ez a módszer kapcsolt kapacitások esetében csak elméletileg járható.
A problémát végül a periodikus kisjelű analízissel lehet megoldani. Az alapgondolata ennek az analízisnek az, hogy egy igen kis szakaszon meghatározzuk a munkapontot, és ott végzzük el a kisjelű analízist, majd ennek eredményével tovább lépve periodikus iterációval állítjuk elő az átviteli függvényt. Az egész analízis ideje alatt az órajel aktív, és mivel tranzisztor szinten szimulál a rendszer, ezért a másodlagos hatások is számításba kerülnek. A végeredményt több számítás is megelőzi.
Ez az analízis az áramkör steady-state válaszát határozza meg, amikor csak a pulzus generátorok vannak engedélyezve. Ezen analízis eredménye a szűrő kimeneti offset feszültsége, amit a műveleti erősítők offset feszültségeiből és a kapcsolók integrátorokba injektált töltéseiből határoz meg a szimulátor. Ez az analízis előfeltétele a periodikus kisjelű analízisnek, mert ez állítja be periodikus munkapontot. A PSS analízis hasonlóan egy hagyományos tranziens analízishez, egy inicializáló feltétellel indul. Ha nem adunk meg inicializáló feltételt, akkor a Spectre a DC analízist használja az inicializáló feltételek meghatározására. A DC analízis alatt, a generátorok nem működnek, így az integrátorok nem lesznek visszacsatolva, ezért a kimenetei kiülnek a tápra. Ha az inicializáló feltételeket a DC analízissel határozzuk meg, akkor az a szűrő . ábrán látható torzult kimenetét eredményezi, néhányszor kiül a táp és a föld között, amíg állandósult állapotba kerül. Ez nehézségeket okoz a PSS analízis során. A megoldás az, hogy a PSS analízis számítási pontosság beli problémáit úgy kerüljük meg, hogy eltoljuk a PSS analízis számítási idejének kezdetét. Ez azt eredményezi, hogy a PSS analízis csak akkor kezdi el a steady-state eredmény meghatározását, ha a tranziens analízis már eljutott egy előre definiált pontig. Ha egyszer meghatároztunk a steady-state választ, akkor jelentősen meg tudjuk gyorsítani a következő PSS analízis számításának idejét, ha elmentjük az előző analízis eredményét, és azt használjuk fel a következő analízis inicializáló feltételének.
A PSS analízis hatékonyságának tökéletesítése érdekében, óvatosan kell megválasztani a szimulációs intervallumot az órajel fázisokhoz képest. A legjobb választás a szimulációs intervallum kezdeti és végpontjára az, ahol a jelek nem változnak hirtelen. Például a . ábrán a felső fázis esetén kevesebb iterálás és kevesebb idő kell a konvergens eredményhez, mint az alsó ábrán látható esetben.
A PSS analízist követi a PAC analízis. Ez az analízis egy kis jelet ad a bemenetre, és ebből két kimeneti választ határoz meg. Az első kimenet a szűrő normál kimenete. A jel ennél a kimenetnél folytonos és különböző tökéletlenségeket mint pl. glitcheket tartalmazhat. A kimenetben a szűrő mindkét fázisának kimenete benne van. Ez a kimenet akkor érdekes, ha a szűrőt egy folytonos idejű szűrő követi. A második kimenet az első kimenet, miután az áthaladt egy mintavevő-tartón. Ez azt az esetet modellezi le, amikor a szűrőt egy diszkrét idejű áramkör követi, mint például egy AD konverter. Ebben az esetben a normál kimenet legtöbb tökéletlenségét az ADC mintavevő jellegéből adódóan kiküszöböltük. Akkor fontos számításba venni az ADC mintavevő természetét, amikor arra van szükségünk, hogy megmérjük valamilyen órajeles analóg áramkör átviteli függvényét, mint a jelenlegi kapcsolt kapacitású szűrő esetében.
Egy egyszerű mintavevő tartót kell készíteni és hozzáadni az áramkörhöz, hogy elő lehessen állítani a mintavett kimenetet\cite{scpiros}. Egy egyszerű mintavevő taró kapcsolása látható a . ábrán. Ezt Verilog-A-ban valósítothatjuk meg.
Ezzel a módszerrel egy nyolcad fokú kapcsolt kapacitású szűrő átvitelét egy pentium 4-es számítógép körülbelül $5$ perc alatt határozza meg.
