Fizikus C++ labor

2. hét: pontosság és pontatlanság

1. feladat

Ha egész típusú változót definiálunk, akkor magától értetődő, hogy pl. 3.14-et nem tudunk eltárolni egy ilyen változóban, ezt 3-mal (vagy 4-gyel) közelíthetjük legfeljebb. Valós típusú változók esetén sem tudunk minden számot eltárolni, mert véges számú számjegy számára van hely. Egész számok esetén két ábrázolható szám között mindig 1 a különbség, valós számoknál viszont ez a különbség a konkrét eltárolt számtól függ: ha 0-hoz közeli számról van szó, akkor két ábrázolható szám között 1-nél jóval kevesebb van, 0-tól távoli számok esetén viszont 1-nél jóval nagyobb is lehet a távolság.

Az int i = 3; i = i + 0.99; printf("%d", i); utasításokat lefuttatva 3-at kapunk, mert az ábrázolható távolságnál kisebb értékkel próbáltuk növelni a változó értékét. Valós számoknál hasonló a helyzet. Mi az a valós szám, amelyre igaz, hogy 1-et hozzáadva nem változik az értéke? Azaz hol éri el az 1-et két ábrázolható valós szám távolsága? Segítség: while(e!=f){f=e; e+=1;} Próbáld ki float-tal! (Kipróbálhatod double-lel is, de az a labor végéig nem fog lefutni, mert nagyságrendileg 1e8 s. Egy közelítő értéket kaphatsz, ha az f=e; elé beírod, hogy e=e*1.001;)

2. feladat

A véges számú számjeggyel való tárolásnak nem csak az a következménye, hogy két ábrázolható szám között van valamekkora távolság, hanem ez is, hogy nem tárolható tetszőlegesen nagy szám. Float típusnál ez 10³⁸ (1e38), double esetén 10³⁰⁸ (1e308) nagyságrendjébe esik. Nézzük ezt meg a gyakorlatban!

Legyen x egy float változó, amely kapjon 1e38-at értékül. Írjuk ki! Szorozzuk meg 10-zel x-et, és írjuk ki! Írjuk be, hogy x = x - x; Írjuk ki! Mit kaptunk? x==x ill. x!=x közül melyik lesz igaz? (Visual C++-ban az IND megfelel a NAN-nak)

Nézd meg a következő kifejezéseket is: acos(5), sqrt(–1), flt=exp(200) v. dbl=exp(2000)

3. feladat

Az (x-1)(x-10ⁿ)=0 egyenlet gyökei nyilván 1 és 10ⁿ. Bontsuk fel a zárójeleket, majd számítsuk ki az egyenlet gyökeit a megoldóképlettel n=0-tól 20-ig!

Tipp: a kifejtett egyenlet: x²-(1+10ⁿ)x+10ⁿ=0.

Az előadáson látott módon a kivonással megkapott gyököt megkaphatjuk más módon is, pontosabb eredményt kapva. Nézd meg a jegyzetedben!

4. feladat

Az e^x Taylor sora sum( xⁿ / n! ). Számítsuk ki 20 és -20 között minden egész x értékre, 50 tagot összegezzünk (n=0-tól 49-g)! Hasonlítsuk össze a beépített exp függvény eredményével! Hogyan oldható meg a probléma?

Tipp: a^-b = 1/a^b.

5. feladat

Számítsuk ki a sum(1/n) divergens sor első 10 millió tagjának összegét (n=1-től 10 millióig)! Az összegzést float változóban végezzük! Nézzük meg az összeget egyszer 1-től 10 millióig és egyszer 10 milliótól 1-ig! Ellenőrizzük double változóban való összegzéssel!

Gyakorló feladatok

1. Intervallumfelelzés

2. Integrál

Órai feladatok mintamegoldása

#include <stdio.h>

int main(){
    float e = 1, f = 0;
    while (e != f){ /*e *= 1.001; */ f = e; e += 1; }
    printf("%g\n", e);
    return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(){
    float x = 1e38;
    printf("%g\n", x);
    x *= 10;
    printf("%g\n", x);
    x = x - x;
    printf("%g\n", x);
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main2(){
    float a, b, c, d, x1, x2;
    int n;

    for (n = 0, c = 1; n < 20; n++, c *= 10){
        a = 1;
        b = -(a + c);
        d = sqrt(b*b - 4*a*c);
        x1 = (-b + d) / (2 * a);
        x2 = (-b - d) / (2 * a);
        printf("n=%d, x1=%g, x2=%g\n", n, x1, x2);
    }
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double eadiksz(double x){
    double fac = 1, xi = 1, sum = 1;
    int i;
    for (i = 1; i < 50; i++){
        xi *= x;
        fac *= i;
        sum += xi / fac;
    }
    return sum;
}

int main(){
    double i;
    for (i = 20; i > -20.5; i -= 1)
        printf("%g: %g vs. %g\n", i, eadiksz(i), exp(i));
    return 0;
}