Szerző: Szalai Albin - okleveles villamosmérnök
Témavezető: Dr. Székely Vladimír- professzor emeritus, az MTA rendes tagja
Az integrált áramkörök termikus problémáinak vizsgálata miatt az elmúlt két évtizedben az RC egykapuk kérdésköre ismét jelentős kutatási területté vált. A jobb termikus tervezés érdekében létfontosságúvá vált a termikus viselkedés modellezése. Általánosabban, gyakori probléma egy hálózat struktúrájának identifikálása mérésből vagy szimulációból (pl. egy egykapu pólus-zérus elrendezésének vagy transzfer impedanciájának megállapítása, ekvivalens helyettesítő áramkör előállítása időtartománybeli mérésből, stb.). A legtöbb esetben a számítások célja egy pontos modell vagy a valós fizikai struktúra meghatározása mérésekből.
A témában született korábbi cikk [1] szerzője bemutatta, hogy az elosztott RC hálózatok sok esetben nem írhatóak le a klasszikus hálózatelméleti fogalmakkal -- pólus-zérus elrendezés, időállandók --, az elosztott rendszerekre kiterjesztett párjukat kell használni. RC hálózatok esetén ezek a kiterjesztések a komplex sík negatív valós tengelyén értelmezett, valóst valósra képező két függvényként nyilvánulnak meg, amiket a továbbiakban összefoglalóan leíró függvényeknek nevezek.
A hálózatelméletben elvárt a különböző tartományok (idő, frekvencia, stb.) rendszerjellemző függvényeinek egyértelmű viszonya, ezért természetes igény ezen új elosztott leíró függvények viszonyát tisztázni. Első téziscsoportomban ezzel a kérdéskörrel foglalkozom. Az időállandó spektrum, a dipólus intenzitás függvény, valamint az általános hálózatleíró függvények valós és képzetes része közötti kapcsolatot fejezem ki konvolúciós formalizmussal.
A hálózatelmélet matematikai apparátusa döntően impedancia alapú, a vizsgált rendszereket azok impedanciájával jellemzi, ezek gerjesztő és válaszfüggvényeivel operál. A teljesség igényén túl bizonyos esetekben gyakorlati előnyökkel is jár egyes összefüggések admittancia alapú megfogalmazása. Második téziscsoportomban az előzőekben már tárgyalt időállandó spektrum és dipólus intenzitás függvény admittancia tartományú megfelelőjét tárgyalom, és megadom a tranziens mérésekre használt NID módszer admittancia alapú alapegyenletét is.
A NID módszerre épülő méréstechnikai eljárás egy szabványban rögzített módszer az integrált áramköri tokok félvezető átmenet-tok (junction-to-case) hőellenállásának megállapítására [2, 3]. Ennek a hőellenállásnak az ismerete különösen fontos a készüléktervezők számára, akiknek ez alapján kell megfelelő hűtőrendszert méretezni az adott áramkörhöz. Az áramkörgyártó cégek a termikus tranziens mérési eredmények kiértékelésével kapják meg a hőellenállás értéket, amit aztán az áramkör adatlapján közölnek. Ez a kiértékelés egy hálózatidentifikációs eljárás, ami az elosztott termikus rendszert leíró, diszkretizált RC hálózatot eredményez Cauer kanonikus alakban.
Az [1, 4, 5] munkákban kifejtett elméletekre támaszkodva, a Mentor Graphics® cég T3Ster-Master [6] kereskedelmi szoftvere egy ilyen eljárást valósít meg, ez a legszélesebb körben elterjedt megoldás a termikus tranziens mérések kiértékelésére. Harmadik téziscsoportomban több, gyakorlati szempontból fontos kiegészítéssel láttam el ezt a méréstechnikai eljárást. Az NID módszer alkalmazásakor azzal a feltételezéssel élünk, hogy egzakt a termikus válaszfüggvényünk, ami természetesen mérés esetén soha nem lehet igaz, kezelnünk kell az eltéréseket. Az eltérések több fizikai okra vezethetőek vissza. Az egységugrás gerjesztés bekapcsolási pillanata nem esik egybe a $t=0$ időpillanattal, ahol ez az időpillanat a mért válaszunk időskálájának zérus pontja, ezáltal már a mérések kezdetén információt veszíthetünk. A gerjesztő ugrásfüggvény felfutási ideje véges, vagyis a gerjesztés frekvenciaeloszlása nem egyenletes. A használt mérőerősítő vágási frekvenciája véges. Rendkívül fontos ezen nemidealitások hatásának vizsgálata, hogy megállapíthassuk a jelenleg használt mérési és identifikációs eljárás pontosságát és korrigálhassuk ezeket a rendszeres hibákat.
Mivel a szabvány nem rögzíti azt, hogy milyen eszközt kell használni a méréshez és identifikációhoz, ezért bárki alkalmazhat saját algoritmust és megvalósítást a probléma megoldására. Abban az esetben, ha ez az egyéni eljárás pontatlan, akkor a szabványosítási törekvés ellenére is pontatlan -- szélsőséges esetben teljesen hamis -- hőellenállás adatokat közölhetnek a gyártók. Ennek megelőzésére egy olyan eljárást dolgoztam ki, amivel a méréstől függetlenül vizsgálható és minősíthető az identifikációs módszer.
Az NID módszer alapját képező konvolúciós hálózatelméleti apparátus egyes műveleteket regularizált divergáló operátorfüggvényeket vezet be. Negyedik téziscsoportom a regularizáció hatását vizsgálja az alkalmazott impulzusfüggvény félértékszélességének függvényében.
A lineáris RC hálózatok tárgyalása a termikus rendszerek vizsgálata kapcsán került ismét előtérbe a 80-as években. Konkrét matematikai és fizikai vizsgálatok nélkül, pusztán a tapasztalatra hagyatkozva is felismerhető, hogy az elektromos hálózatok és termikus rendszerek időtartománybeli viselkedése hasonló, hiszen hasonló kiegyenlítődési folyamatok zajlanak le. Egy feltöltött majd egy ellenálláson keresztül földelt kapacitás feszültség függvénye hasonló egy felmelegített anyagdarab szobahőmérsékletre hűlésének függvényéhez. E hasonlóság egzakt vizsgálata oda vezetett, hogy az elektromos rendszerek vizsgálatára kifejlesztett módszerek megfelelő peremfeltételek esetén alkalmazhatóvá váltak termikus rendszerek vizsgálatára is, valamint a meglévő eszközkészlet alkalmazhatóságának korlátait megfelelő módosítás segítségével ki lehetett terjeszteni.
Ebben a fejezetben irodalmi forrásokra támaszkodva foglalom össze azokat az elméleti alapokat, amelyekre saját munkámban támaszkodtam. Az [1, 4, 5] munkák egyes szakaszait részben szó szerint vettem át, a szerző hozzájárulásával.
Első ránézésre egy termikus rendszer tranziens analízise igen bonyolult feladatnak tűnik. Egy parciális differenciálegyenlet-rendszer megoldásával tudunk csak eljutni a kívánt eredményhez. Szerencsére már rendelkezésünkre áll egy jól kidolgozott matematikai apparátus egy hasonló probléma megoldására, a villamos rendszerek analízisére. Lényegesen könnyebb lenne a dolgunk, ha találnánk valamilyen összefüggést a két rendszert leíró összefüggések között.
A villamos rendszerek tranziensének vizsgálatához a távíró egyenletekből indulhatunk ki (. ábra):
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = - r i(x,t) - l \frac{\partial}{\partial t} i(x,t) \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} i(x,t) = g u(x,t) - c \frac{\partial}{\partial t} u(x,t), \end{equation} ahol $r$, $c$, $l$, $g$ a hosszegységre eső ellenállás, kapacitás, induktivitás és átvezetés. $l=g=0$ peremfeltételek esetén a következő módon egyszerűsödnek az egyenleteink (. ábra): \begin{equation}\label{tavir1} \frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = -r i(x,t) \end{equation} \begin{equation}\label{tavir2} \frac{\partial}{\partial x}i(x,t) = -c \frac{\partial}{\partial t} u(x,t) \end{equation}
A termikus rendszerek vizsgálatához az egydimenziós hővezetés egyenletéből indulhatunk ki: \begin{equation} \lambda \frac{\partial^2}{\partial x^2}T(x,t)-\varrho c_f \frac{\partial}{\partial t} T(x,t) = 0, \end{equation} ahol $\lambda$ a termikus vezetőképesség, $c_f$ a fajhő, $\varrho$ a sűrűség és $T$ a hőmérséklet. Olyan rendszerekről beszélünk, ahol a hővezetés a domináns, a konvekció és a sugárzás pedig elhanyagolható.
Fourier törvénye alapján felírható a hőáram összefüggése, így a következő egyenletrendszer adódik: \begin{equation} q = - \lambda \frac{\partial}{\partial x} T(x,t) \end{equation} \begin{equation} -\frac{\partial}{\partial x} q(x,t)-\varrho c_f \frac{\partial}{\partial t} T(x,t) = 0, \end{equation} ahol $q$ a hőáram. Az $x$ szerinti parciális deriváltakra rendezve az egyenleteket: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} T(x,t) = -\left(\frac{1}{\lambda}\right)q(x,t) \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} q(x,t) = - (\varrho c_f) \frac{\partial}{\partial t} T(x,t) \end{equation}
Új jelöléseket bevezetve: \begin{equation}\label{termir1} \frac{\partial}{\partial x} T(x,t) = -R_{th} q(x,t) \end{equation} \begin{equation}\label{termir2} \frac{\partial}{\partial x}q(x,t) = -C_{th} \frac{\partial}{\partial t}T(x,t), \end{equation} ahol $R_{th}=\frac{1}{\lambda}$ a hőellenállás és $C_{th}=\varrho c_f$ a hőkapacitás.
A (\ref{tavir1}), (\ref{tavir2}) illetve (\ref{termir1}), (\ref{termir2}) között egyértelműen felfedezhető az analógia $u \Leftrightarrow T$ illetve $i \Leftrightarrow q$ megfeleltetéssel (. ábra). Mivel sikerült megtalálnunk a megfeleltetést, a hővezetésdomináns termikus problémák vizsgálatát visszavezethetjük villamos RC hálózatok vizsgálatára.
A hálózatelméletben használt fogalmaink hosszú múltra tekintenek vissza. Mind valamilyen módon azt tükrözi, hogy a tárgyalt hálózat diszkrét elemeket tartalmaz, hiszen akár egy rendszer időállandói kerülnek szóba, akár a pólus-zérus elrendezés, ezek már magukban hordozzák azt, hogy véges számú időállandóról vagy pólusról beszélünk. Az egész matematikai apparátus erre rendezkedett be, ami tökéletesen elegendő a koncentrált paraméteres áramköri hálózatok tárgyalásakor.
Az előzőekben bemutatott analógiából látható, hogy elméletileg minden nehézség nélkül tárgyalhatjuk a termikus rendszerek viselkedését is úgy, mint egy egyszerű áramköri hálózatét. Az egyetlen feladatunk az, hogy valamilyen módon megalkossunk egy olyan ekvivalens áramköri kapcsolást, ami viselkedésében hűen visszaadja a termikus rendszerünk viselkedését. Ha jobban elkezdjük vizsgálni az analógiában felfedett fogalompárokat, akkor arra a megállapításra jutunk, hogy a helyzet nem ilyen egyszerű. Ha például veszünk egy egyszerű áramköri struktúrát, mint amilyen egy integrált áramköri tok, ami tartalmaz egy áramkört, ami az egész rendszer hőforrása, már ezen is látszik, hogy a hőellenállás és a hőkapacitás tokon belüli eloszlása nem határolható be egzakt módon. A hőáramunk forrástól csak a tok széléig tartó útját vizsgálva is belátható, hogy ezen az úton a hőellenállás és hőkapacitás nem koncentráltan jelentkezik, ennek köszönhetően a rendszerünk időállandói folytonosan változnak, tehát egy elosztott rendszer.
Abban az esetben, ha már induláskor nem akarunk valamilyen önkényes diszkretizálást végrehajtani, akkor valamilyen módon definiálnunk kell az egyes fogalmak elosztott struktúrákra is használható változatát, ezzel új fogalmakat kell bevezetnünk.
$ \newcommand{ \infint}{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} } \newcommand{\intl}{\int\limits} \newcommand{\imag}[1]{\mathrm{Im}\left\{#1\right\}} \newcommand{\real}[1]{\mathrm{Re}\left\{#1\right\}} \newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}} \newcommand{\YY}{\mathbf{Y}} \newcommand{\sss}{\mathbf{s}} \newcommand{\SSS}{\mathbf{S}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\arcus}{\mathrm{arcus}} \newcommand{\abs}{\mathrm{abs}} \newcommand{\WW}{W} \newcommand{\logm}{\mathrm{logm}} \newcommand{\SNRA}{\mathrm{SNR}_\mathrm{A}} \newcommand{\SNRB}{\mathrm{SNR}_\mathrm{B}} \newcommand{\SNR}{\mathrm{SNR}} \newcommand{\szog}{\varphi} \newcommand{ \equref}[2]{ \begin{equation}\label{#2} #1 \end{equation} } $Praktikussági okokból arra törekedünk, hogy a lineáris hálózatelméletből megszokott összefüggéseket konvolúciós összefüggések formájában írjuk fel. Ehhez csak egy dolog szükséges, valamennyi változónkat át kell skáláznunk logaritmikus léptékbe. A $t$ időt, $\omega$ körfrekvenciát valamint az $\sss$ komplex körfrekvenciát a következő jelöléssel használjuk:
\begin{equation}\label{eq1} z = \log{t} \end{equation} \begin{equation} \Omega = \log{\omega} \end{equation} \begin{equation}\label{eq-sss} \SSS = \log{\sss} \end{equation} Frekvencia esetén ez egy széles körben elterjedt megoldás, pl. a Bode diagram, amit Bode az 1940-es évek elején mutatott be [7]. A módszert időnként időre is alkalmazzák, pl. Siegal cikke logaritmikus időskálát javasol a termikus tranziens válaszok kezelésére [8], vagy Wiese és Weil megoldása egy olyan Fourier transzformációra, ahol a minták logaritmikus időközönként állnak rendelkezésre [9].
A következőekben feltételezzük a linearitást és a passzivitást.
Mikrostruktúrák dinamikus termikus viselkedésének modellezéséhez egy RC kétpólust használhatunk [10]. Ez a kétpólus tulajdonképpen magát a hőelvezetést jellemzi, vagyis azt, hogy a hő keletkezésének helyétől milyen út vezet el a külvilágig.
Egy ilyen kétpólus jellemzésének a hálózatelméletből jól ismert módja, hogy valamilyen módon információt szerzünk az időállandóiról. Elsődlegesen az érdekel minket, hogy milyen időállandói vannak a rendszernek, és azoknak milyen az erőssége, intenzitása. Ezek meg fognak jelenni a kétpólusunk válaszfüggvényében.
Az időállandó fogalma arra a tényre épít, hogy az adott rendszer amit jellemez, diszkrét pólusokkal, diszkrét elemekkel rendelkezik. A termikus rendszerek azonban nem ilyen diszkrét rendszerek, elosztott paraméteres RC hálózatokkal írhatóak csak le. Valamilyen módon le kell írnunk egy ilyen rendszer időállandóit. Erre szolgál az időállandó spektrum.
Ha egy egyszerű RC tag egységugrásra adott válasza $a(t)$, akkor azt a következő formában írhatjuk fel: \begin{equation}\label{egyszeru} a(t) = R \left( 1-\exp\left(-\frac{t}{\tau} \right)\right) \end{equation}
Ebben az esetben az időállandó spektrum egy $R$ magasságú vonal (. a) ábra).
Ha a kétpólusunk bonyolultabb és több időállandóval is rendelkező koncentrált paraméteres RC hálózat, akkor az ugrásválaszát a (\ref{egyszeru}) formájú tagok összegeként adhatjuk meg. \begin{equation}\label{ugr} a(t) = \sum\limits_{i=1}^{n} R_i \left( 1-\exp{\left(-\frac{t}{\tau_i} \right)}\right) \end{equation}
Ennek spektruma sok, különböző időállandójú és különböző nagyságú vonalból áll (. b) ábra). Az időállandókhoz tartozó $R_i$ tényezőket az adott időállandó intenzitásának nevezzük. Ez azt adja meg, hogy az adott időállandó milyen intenzitással fog megjelenni az ugrásválaszban. Ez az $R_i$ tag meg fog egyezni az $i$-ik időállandóhoz tartozó RC tag R ellenállásával.
Ha ismert az ugrásválasz (\ref{ugr}) alakja, akkor egyértelműen meghatározhatjuk az ezen függvényt megvalósító Foster hálózat (. ábra) elemeinek az értékét. Az $R_i$ intenzitások megegyeznek a Foster hálózat ellenállásaival, a kapacitásokat az időállandóból és az intenzitásból határozhatjuk meg: $C_i=\tau_i/R_i$.
Ha az elosztott paraméteres hálózatok irányába terjesztjük ki ezt a leképezést, akkor a . ábrán látható Foster hálózat elemeinek a számát kell növelnünk oly módon, hogy a meglévő időállandók közé újakat hozunk be, és ügyelünk arra, hogy az ellenállások összege ne változzon. Ha a hálózatunk elemeinek száma a végtelenhez tart, akkor a $\tau$ tengely mentén folytonossá válik az időállandók spektruma. Azonban ha figyelembe vesszük azt a kitételt, hogy az ellenállások összegének változatlannak kell lennie, akkor az egyes $\tau$ értékekhez tartozó intenzitások nullához tartanak. Véges nagyságú intenzitás egy $\tau$ intervallumhoz tartozik. Ezek alapján definiálhatjuk az időállandók sűrűségét: \begin{equation}\label{eq-dtau} D(\tau) = \lim_{\Delta\tau \rightarrow 0}\frac{\textrm{a }\tau\textrm{ és }\tau+\Delta\tau\textrm{ közé eső időállandók intenzitása}}{\Delta\tau} \end{equation} (\ref{ugr}) analógiájára ezzel a sűrűségfüggvénnyel felírhatjuk az elosztott paraméteres RC kétpólusunk ugrásválaszát. \begin{equation}\label{neq3} a(t) = \int\limits_0^\infty D(\tau) \left( 1-\exp{\left(-\frac{t}{\tau} \right)}\right) \dd\tau \end{equation} A számításoknál célszerű áttérni a logaritmikus időtartományba. A logaritmikus idő változó (\ref{eq1}) alapján logaritmikus, ennek megfelelően az időállandókat is transzformálnunk kell: \begin{equation} \zeta = \log{\tau} \end{equation} és le kell cserélnünk a $D(\tau)$ időállandó sűrűség függvényt az $R(\zeta)$ logaritmikus időállandó sűrűség függvényre: \begin{equation} R(\zeta) = \lim_{\Delta\zeta \rightarrow 0}\frac{\textrm{a }\zeta\textrm{ és }\zeta+\Delta\zeta\textrm{ közé eső időállandók intenzitása}}{\Delta\zeta} \end{equation} A logaritmikus időállandó sűrűséggel előállított ugrásválasz: \begin{equation}\label{fin} d(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}R(\zeta)\left(1-\exp{\left(-\frac{t}{\exp\zeta}\right)} \right) \dd\zeta \end{equation}
Az időállandó spektrum meghatározásának problémája több oldalról is megközelíthető, annak függvényében, hogy milyen információk állnak a rendelkezésünkre. Tegyük fel, hogy jelen esetben az ugrásválasz áll rendelkezésünkre (pl. mérésből), így abból kell meghatároznunk az időállandó spektrumot. Írjuk be (\ref{eq1})-t (\ref{fin}) összefüggésbe. \begin{equation} a(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(\zeta) \Bigl( 1-\exp{\bigl(-\exp(z-\zeta) \bigr)} \Bigr) \dd\zeta \end{equation} Ez egy konvolúciós típusú integrálegyenlet. Deriváljuk a fenti integrálegyenletet $z$ szerint: \begin{equation}\label{aa} \frac{\dd}{\dd z}a(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(\zeta) \exp{\bigl(z-\zeta-\exp{(z-\zeta)} \bigr)}\dd\zeta \end{equation} Az alábbi módon definiáljuk a $w_t(z)$ függvényt: \begin{equation}\label{bb} w_t(z)=\exp{\bigl(z-\exp(z)\bigr)} \end{equation} (\ref{aa}) és (\ref{bb}) összefüggésből: \begin{equation}\label{konvossz} \frac{\dd}{\dd z}a(z)=R(z) \otimes w_t(z) \end{equation} Vagyis az ugrásválasz ismeretében egy dekonvolúciós lépéssel meghatározható az időállandó spektrum. Ez képzi a NID módszer alapját.
Egy elosztott RC hálózatnak sok esetben folytonos időállandó spektruma van, ezért a szokásos pólus-zérus leírás nem alkalmazható a mért impedancia függvény leírására. Általánosítva a pólus-zérus reprezentációt feloldható ez a probléma.
Egy koncentrált paraméteres RC egykapu általánosan leírható egy valós együtthatós racionális függvénnyel, \begin{equation}\label{eq-imp-rac} \ZZ(\sss)=R_0 \frac{(1+\sss/\sigma_{z\,1})(1+\sss/\sigma_{z\,2})\cdots (1+\sss/\sigma_{z\,n-1})}{(1+\sss/\sigma_{p\,1})(1+\sss/\sigma_{p\,2})\cdots (1+\sss/\sigma_{p\,n})} \end{equation} ahol $\sss$ a komplex frekvenciát, $R_0$ a teljes ellenállást, $\sigma_{p}$ a pólusokat és $\sigma_z$ a zérusokat jelöli. A pólusok és zérusok a teljes ellenállással minden információt tartalmaznak az egykapu jellemzéséhez. Ezt az egyértelmű reprezentációt nevezzük pólus-zérus reprezentációnak. (\ref{eq-imp-rac}) átrendezhető a következő formára: \begin{equation}\label{eq-imp-rac-rend} \ZZ(\sss)=\sum^n_{i=1} \frac{R_i}{1+\sss/\sigma_{p\,i}}=\sum^n_{i=1}\frac{R_i}{1+\sss \tau_i} \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eq-taui} \tau_i=\frac{1}{\sigma_{p\,i}}. \end{equation} (\ref{eq-imp-rac-rend}) a (\ref{ugr}) alakú ugrásválasszal rendelkező RC hálózat impedanciája.
Elosztott paraméteres egykapuk esetén az impedancia már nem írható le racionális függvénnyel. Néhány esetben azonban a pólus-zérus illetve az időállandó reprezentációval is leírható egy ilyen áramkör. Erre példa a véges hosszúságú, végén rövidzárral lezárt RC tápvonal. Az impedancia analitikus kifejezése [11]: \begin{equation}\label{eq-unif-anal} \ZZ(\sss)=\frac{1}{\sqrt{\sss K_0}}\tanh R_0\sqrt{\sss K_0} \end{equation} ahol $K_0=c/r$, $R_0=r\cdot L$, $r$ a hosszegységre eső ellenállás, $c$ a hosszegységre eső kapacitás és $L$ a tápvonal hossza. Ennek a függvénynek a pólusai és zérusai a bal komplex félsíkon, a $-\sigma$ tengelyen vannak, de számuk végtelen. A pólus és zérus frekvenciák: \begin{equation}\label{eq-p-z-freki} \sigma_n=n^2 \frac{\pi^2}{4}\frac{1}{R_0^2 K_0}, \qquad n=1, 2, 3, \dots \end{equation} ahol a páros $n$ indexek jelentik a zérusokat, a páratlanok a pólusokat. Hasonló módon leírhatóak a válasz időállandói és azok intenzitásai: \begin{equation}\label{eq-unif-idoall} \begin{array}{ll} \displaystyle \tau_n = R_0^2 K_0 \frac{4}{\pi^2}\frac{1}{n^2} & \\ ~ & \\ \displaystyle R_n = R_0 \frac{8}{\pi^2}\frac{1}{n^2}, & n=1,3,5,7,\dots\,. \\ \end{array} \end{equation} Vagyis ennek az áramkörnek létezik mind pólus-zérus mind időállandó reprezentációja, de az időállandók és a pólusok, zérusok száma végtelen.
A hálózatok egy következő osztályát képezik azok, ahol a leírás diszkrét pólusokkal és zérusokkal (vagy diszkrét időállandókkal) nem lehetséges. Erre példa a végtelen hosszú uniform RC tápvonal. Ennek bemeneti impedanciája a vonal karakterisztikus impedanciája: \begin{equation}\label{eq-unif-inf} \ZZ(\sss)=\sqrt{\frac{r}{\sss c}}. \end{equation} Ennek az impedancia függvénynek nincsenek pólusai és zérusai a negatív valós ($\sigma$) tengelyen. Ez az általános eset, amikor egy komplex nem uniform hálózatot vizsgálunk, ami végtelen hosszú. Jellemző tulajdonsága ezeknek az impedancia függvényeknek, hogy $\sqrt{j\omega}$ szorzók jelennek meg bennük. Ennek eredményeként a hálózat Bode diagramjában $10\,\mathrm{dB}/\text{dekád}$ meredekségű szakaszok jelennek meg [11]. A . ábrán egy ilyen amplitúdó menet látható. Ezt közelíteni tudjuk diszkrét pólusokkal és zérusokkal. Ha az $\omega_1$ pontba egy pólust helyezünk, akkor a Bode diagram $20\,\mathrm{dB}/\text{dekád}$ meredekséggel fog csökkenni, ami túl meredek. Ha ezek után egy zérust helyezünk el, akkor a menet ismét zérus meredekségűvé válik. Ha váltogatjuk a pólusokat és zérusokat úgy, hogy azok meredekség átlaga az amplitúdómenten az előírt meredekséget adja, akkor elméletileg tetszőleges meredekséget közelíteni tudunk.
Az előző példa esetében, ha a zérusok egyenlő távolságra vannak a szomszédos pólusoktól, akkor az eredő meredekség az előírt $10\,\mathrm{dB}/\text{dekád}$ lesz.
A közelítés pontosságát a pólusok és zérusok sűrűsége határozza meg, növelésével javíthatunk a pontosságon. Ebben az esetben a hálózatot jellemző információt nem a pólusok és zérusok száma hordozza (számuk a végtelenhez tart), csak a szomszédos pólus-zérus párok egymáshoz képesti helyzete: hatástalanítják-e egymás hatását vagy hagyják érvényesülni azt. A . ábrán látható módon, ha az első pólust $\delta\rightarrow 0$ távolságban követi zérus, akkor az a pólus kompenzálódik, de ha az első zérus a második pólushoz van közel, akkor az első pólus hatásos.
Egy másik megközelítés is lehetséges. Tekintsünk egy szomszédos pólus-zérus párt egy dipólusnak. Az intenzitása ennek a dipólusnak az őt alkotó pólus-zérus pár távolságától függ. Abban az esetben, ha a kettő egybeesik és kioltják egymást, akkor az intenzitás zérus. Ha a pólus-zérus távolság maximális (a zérus a következő pólusnál van), akkor az intenzitás is maximális. Válasszuk ezt a intenzitást egységnyinek.
Kényelmi megfontolásokból térjünk át logaritmikus változóra a negatív $\sigma$ tengelyen: \begin{equation}\label{eq-Sigma} \Sigma = \log(-\sigma). \end{equation} Vizsgáljunk meg egy két pólus által határolt $\Delta\Sigma$ intervallumot a logaritmikus $\Sigma$ tengelyen (. ábra). A bal oldali pólus és a zérus távolsága $\delta\Sigma$. Tegyük fel, hogy a pólusok és zérusok sűrűsége végtelenhez tart. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy $\Delta\Sigma$ végtelenül kicsi lesz. Ebben az esetben a dipólus intenzitás függvény: \begin{equation}\label{eq-dipolint} I_d(\Sigma)=\lim_{\Delta\Sigma\rightarrow 0}\frac{\delta\Sigma}{\Delta\Sigma}. \end{equation}
Ha figyelembe vesszük, hogy egy RC kapu impedanciájában a pólusok és zérusok alternálnak, abból egyenesen következik, hogy \begin{equation}\label{eq-Idrange} 0 \leq I_d \leq 1. \end{equation} Egy végtelen, elosztott RC kétpólus esetén a dipólus intenzitás függvénynek általánosan olyan tartományai vannak, ahol $I_d$ értéke $0$ és $1$ között változik. A . ábrán látható Bode diagram esetén, ahol $10\,\mathrm{dB}/\text{dekád}$ a meredekség, $I_d$ értéke $0.5$. Koncentrált paraméteres hálózatok esetén $I_d$ csak $0$ vagy $1$ lehet. Ezt szemlélteti a . ábra, ahol a felfutó él pólust, a lefutó zérust jelent.
A fentebb bevezetett függvények azáltal válnak alkalmazhatóvá, hogy egyértelmű a kapcsolatuk az impedancia függvénnyel. Koncentrált paraméteres esetben (\ref{eq-imp-rac}) és (\ref{eq-imp-rac-rend}) biztosítja ezt a kapcsolatot. Ilyen kapcsolat megállapítható a két elosztott leíró függvény és az impedancia függvény között is. Külön érdemes kiemelni az összefüggések nagyfokú szimmetriáját. Ha ismerjük a $\ZZ(\sss)$ impedancia függvényt, az időállandó spektrum és a dipólus intenzitás függvény a következő két összefüggéssel számítható [1]: \begin{equation}\label{eq-idoall-imp} R(\zeta)=\frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\Bigl\{\ZZ\bigl(\sss = -\exp(-\zeta)\bigr)\Bigr\} \end{equation} és \begin{equation}\label{eq-dipol-imp} I_d(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\Bigl\{\log \ZZ\bigl(\sss=-\exp(\Sigma)\bigr)\Bigr\}. \end{equation} Ha adott az egyik a két reprezentáció közül, akkor a másik számítható: \begin{equation}\label{eq-imp-idoall} \ZZ(\SSS)=\infint \frac{R(-x)}{1+\exp(\SSS-x)}\dd x \end{equation} vagy \begin{equation}\label{eq-imp-idoall2} \ZZ(\SSS)=R_0-\infint R(-x) \frac{\exp(\SSS-x)}{1+\exp(\SSS-x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{eq-imp-dipol} \log \ZZ(\SSS) = \log R_0 - \infint I_d(x) \frac{\exp(\SSS -x)}{1+\exp(\SSS -x)}\dd x, \end{equation} ahol $\SSS=\log\sss$, lásd (\ref{eq-sss}).
Az egyértelmű összefüggések ellenére az egyes számítások csak nagy körültekintéssel végezhetőek el. (\ref{eq-idoall-imp}) azt mutatja, hogy az impedancia képzetes részét a komplex sík negatív valós tengelyén haladva kell kiszámítani. A tengely mentén rendszerint szingularitások vannak, pl. a koncentrált paraméteres hálózatok pólusai vagy szinguláris vonalak elosztott rendszerek esetén. Ezek a szingularitások megnehezítik (\ref{eq-idoall-imp}) használatát az időállandó spektrum számításához.
Ezek a problémák megkerülhetőek egy közelítés alkalmazásával. A veszélyes területek elkerülése érdekében kerülnünk kell a negatív valós tengelyt (. ábra). Egy a tengelyhez megfelelően közeli vonalat kell használnunk [12], \begin{equation}\label{eq-delta} \sss = -\bigl(\cos\szog+j\sin\szog\bigr)\exp(-z), \end{equation} így az integrálások elvégezhetővé válnak.
Természetesen a $\szog$ szögnek kicsinek kell lenni, nem lehet több, mint $2^\circ - 5^\circ$. Még ilyen kis szögek esetén is hibát viszünk a számításba. Bizonyítható, hogy a számított $R_c(z)$ időállandó spektrum kifejezhető az egzakt spektrum és egy hibafüggvény konvolúciójával: \begin{equation}\label{eq-deltahiba-rc} R_c(z)=\frac{\pi -\szog}{\pi}R(z)\otimes e_r(z), \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eq-er-hibafv} e_r(z)=\frac{1}{\pi -\szog}\frac{\sin \szog \exp(-z)}{1-2\cdot\cos \szog \exp(-z)+\exp(-2z)}. \end{equation} Ez a függvény egy keskeny impulzus egységnyi területtel. Csökkenő $\szog$ mellett $e_r(z)$ egyre keskenyebb lesz, vagyis tetszőleges pontosság elérhető megfelelően kis $\szog$ szög alkalmazásával. A félértékszélesség, ami a felbontás mértéke, a következő: \begin{equation}\label{eq-er-felertek} \Delta_e = 2\log\left(2-\cos\szog + \sqrt{(2-\cos\szog)^2-1} \right) \simeq 2\szog. \end{equation} Ha pl. $\szog=2^\circ$, akkor a felbontás $0.1$ oktáv, ami azt jelenti, hogy két pólus akkor megkülönböztethető, ha a frekvenciáik aránya nagyobb, mint $1.072$.
Az előzőekben bemutatott számítási probléma a (\ref{eq-idoall-imp}) időállandó spektrum meghatározásakor a dipólus intenzitás függvény (\ref{eq-dipol-imp}) egyenletének kiértékelésekor is megjelenik. A bemutatott módszer a szingularitások elkerülésére ebben az esetben is alkalmazható.
Az előző fejezetben bevezetett logaritmikus változók felhasználásával több lineáris hálózatelméleti összefüggés konvolúciós egyenletté alakítható. Például vizsgáljuk meg az $a(t)$ egységugrásra adott időtartománybeli válaszfüggvény kapcsolatát a $\ZZ(\omega)$ frekvenciatartománybeli impedancia függvényével, ha alkalmazzuk a Laplace transzformációt: \begin{equation}\label{eq4} \ZZ(\omega) = \intl_0^\infty \frac{\dd a}{\dd t}\exp(-j\omega t)\dd t\,. \end{equation}
Behelyettesítve a $\dd a/\dd t = \dd a/\dd z \cdot \dd z/\dd t$, $\omega = \exp(\Omega), t=\exp(z)$ és $x=-z$ tagokat a következő formára jutunk: \begin{equation}\label{eq555555} \ZZ(\Omega)=\intl_{-\infty}^\infty \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{x=-z}\exp\bigl( -j\exp(\Omega-x)\bigr) \dd x, \end{equation} ami egy konvolúciós egyenlet az időtartománybeli válasz és egy $\mathbf{W}(\Omega)$ súlyfüggvény között: \begin{equation}\label{eq6o} \ZZ(\Omega)=\left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\Omega=-z}\otimes \mathbf{W}(\Omega), \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eq7} \mathbf{W}(\Omega)=\exp\bigl(-j\exp(\Omega)\bigr)\,. \end{equation}
A $\mathbf{W}(\Omega)$ egy operátorként viselkedik.
Mivel a tárgyalt hálózatok lineáris, passzív áramkörök, amik leírhatóak a meghajtási pontjukkal vagy transzfer impedanciájukkal, a $\ZZ(\sss)$ komplex impedancia szingularitásai a $\sigma < 0$ félsíkon helyezkednek el, ahol \begin{equation}\label{eq-kissigma} \sss = \sigma + j\omega . \end{equation}
A (\ref{eq6o}) egyenlettel már bemutatásra került egy konvolúciós megközelítés. Először az $a(t)$ választ transzformáljuk: \begin{equation}\label{eqnnaz} a(z)=a\bigl(t=\exp(z)\bigr) \end{equation} ahol a (\ref{eq1}) egyenletet alkalmaztuk. Szétválasztva a valós és képzetes tagokat: \begin{equation}\label{eq14} \real{\ZZ(\Omega)}=\WW_R(\Omega)\otimes\left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\Omega=-z} \end{equation} \begin{equation}\label{eq15} \imag{\ZZ(\Omega)}=\WW_I(\Omega)\otimes\left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\Omega=-z} \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eq16} \WW_R(\Omega)=\cos\bigl(\exp(\Omega)\bigr) \end{equation} \begin{equation}\label{eq17} \WW_I(\Omega)=-\sin\bigl(\exp(\Omega)\bigr)\,. \end{equation}
Ha ismerjük az $a(t)$ időtartománybeli választ, a frekvenciatartománybeli viselkedés kiszámítható a (\ref{eq14}) és (\ref{eq15}) konvolúciós egyenletek alkalmazásával.
Konvolválva a (\ref{eq14}) egyenletet a $\WW_I(\Omega)$ függvénnyel és a (\ref{eq15}) egyenletet $\WW_R(\Omega)$-val \begin{equation}\label{eq18} \WW_I(\Omega)\otimes\real{\ZZ(\Omega)}=\WW_I(\Omega)\otimes\WW_R(\Omega)\otimes\left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\Omega=-z} \end{equation} \begin{equation}\label{eq19} \WW_R(\Omega)\otimes\imag{\ZZ(\Omega)}=\WW_R(\Omega)\otimes\WW_I(\Omega)\otimes\left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\Omega=-z} \,. \end{equation}
Az egyenletek jobb oldala természetesen egyenlő, ha figyelembe vesszük a konvolúció kommutatív és asszociatív tulajdonságát. Ebből következik, hogy \begin{equation}\label{eq20} \WW_I(\Omega)\otimes\real{\ZZ(\Omega)}=\WW_R(\Omega)\otimes\imag{\ZZ(\Omega)}\,. \end{equation}
A levezetéshez a Riemann-Mellin inverziós integrált kell felhasználnunk. $\sigma=0, -\infty < \omega<+\infty$ integrálási utat alkalmazva az integrál felírható, mint \begin{equation}\label{eq21} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{2\pi j}\lim_{\omega\rightarrow\infty}\int\limits_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}\ZZ(\sss)\cdot\exp(\sss t)\dd \sss\,. \end{equation} Ez az egyenlet a következő alakra hozható (részletes levezetés a függelékben): \begin{equation}\label{eq22} \begin{array}{c} \displaystyle \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\zeta=-z}=\frac{1}{\pi}\infint\real{\ZZ(\Omega)}\exp(\Omega-\zeta)\cos\bigl(\exp(\Omega-\zeta)\bigr)\dd\Omega - \\ \displaystyle - \frac{1}{\pi}\infint\imag{\ZZ(\Omega)}\exp(\Omega-\zeta)\sin\bigl(\exp(\Omega-\zeta)\bigr)\dd \Omega\,.\\ \end{array} \end{equation} (\ref{eq22}) olyan integrálokat tartalmaz, amik a súlyfüggvények tükrözésével az $\Omega$ tengelyen konvolúciós alakra hozhatóak. Átírva az egyenletet: \begin{equation}\label{eq23} \begin{array}{c} \displaystyle \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{z=-\Omega}= \frac{1}{\pi}\real{\ZZ(\Omega)}\otimes \Bigl(\exp(-\Omega)\cos\bigl(\exp(-\Omega)\bigr) \Bigr)-\\ ~ \\ \displaystyle -\frac{1}{\pi}\imag{\ZZ(\Omega)}\otimes\Bigl(\exp(-\Omega)\sin\bigl(\exp(-\Omega)\bigr) \Bigr)\,.\\ \end{array} \end{equation} A tömörebb írásmód érdekében további két súlyfüggvény vezethető be: \begin{equation}\label{eq24} \WW^{\prime}_R(\Omega)=-\exp(\Omega)\cdot\sin\bigl(\exp(\Omega)\bigr) \end{equation} \begin{equation}\label{eq25} \WW^{\prime}_I(\Omega)=-\exp(\Omega)\cdot\cos\bigl(\exp(\Omega)\bigr)\,. \end{equation} Ezek a függvények (\ref{eq16}) és (\ref{eq17}) deriváltjai. Felhasználva ezeket a súlyfüggvényeket (\ref{eq23}) átírható: \begin{equation}\label{eq26} \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{z=-\Omega}=-\frac{1}{\pi}\real{\ZZ(\Omega)}\otimes\WW^{\prime}_I(-\Omega)+\frac{1}{\pi}\imag{\ZZ(\Omega)}\otimes\WW^{\prime}_R(-\Omega)\,. \end{equation} Ez az egyenlet azt sugallja, hogy mindkét tagra, $\real{\ZZ(\Omega)}$-ra és $\imag{\ZZ(\Omega)}$-ra szükség van az $a(t)$ időtartománybeli válasz meghatározásához. Szerencsére a helyzet ennél egyszerűbb. A valós és képzetes rész közötti alkalmas összefüggés levezetésével bizonyítható, hogy (\ref{eq26}) egyenletben az összeg két tagja a jobb oldalon egyenlő (lásd ). Így \begin{equation}\label{eq27} \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{z=-\Omega}=-\frac{2}{\pi}\real{\ZZ(\Omega)}\otimes \WW^{\prime}_I(-\Omega) \end{equation} vagy \begin{equation}\label{eq28} \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{z=-\Omega}=\frac{2}{\pi}\imag{\ZZ(\Omega)}\otimes \WW^{\prime}_R(-\Omega)\,. \end{equation} Ez azt jelenti, hogy az impedancia függvény valós vagy képzetes részének ismeretében az időtartománybeli válasz meghatározható a két konvolúciós egyenlet (\ref{eq27}-\ref{eq28}) valamelyike segítségével.
1. tézis. Az elosztott RC hálózatok elméletének konvolúciós megfogalmazása terén az alábbi eredményeket értem el:
1.1. tézis. Meghatároztam az időállandó spektrum és a dipólus intenzitás függvények kapcsolatát adó transzformációs egyenleteket.
Megállapítottam, hogy ezek az összefüggések a konvolúción túl nemlineáris műveletet is tartalmaznak, a két rendszerjellemző függvény kapcsolata tehát nemlineáris. [JN1]
$$ I_d(x)=\frac{1}{\pi}\arcus\left(R_M(x)\otimes\frac{1}{1-\exp(x)}\right) $$
$$ R_M(x)=\frac{1}{\pi}R_0\cdot\imag{\exp\left(I_d(x)\otimes\frac{\exp(x)}{1-\exp(x)}\right)} $$
1.2. tézis. Megállapítottam, hogy a hálózatleíró függvények valós és képzetes része közötti összefüggést megadó Bode integrál megfelelő átfogalmazással beilleszthető az elosztott hálózatelmélet konvolúciós eszköztárába. \\ Meghatároztam az ehhez szükséges operátorfüggvényeket. [J1]
$$ \WW_{\text{Re Im}}(x)=-\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sinh(x)} $$
$$ \WW_{\text{Im Re}}(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\exp(-x)}{\sinh(x)} $$
A . fejezetben láthattuk, hogy lineáris és elosztott passzív RC egykapuk leírhatóak az $R(\zeta)$ időállandó spektrummal vagy az $I_d(\Sigma)$ dipólus intenzitás függvénnyel.
Mivel mindkét leírásmód teljes és kölcsönösen egyértelmű, ezért az egyikből következik a másik. Következésképpen léteznie kell egy direkt útnak, hogy az egyik ismeretében a másikat meghatározzuk. Ennek az elvárásnak első sorban elméleti jelentősége van, hiszen a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a két leíró függvény között egy erős elvárás. Gyakorlati előnye akkor várható egy ilyen algoritmusnak, ha csak az $I_d(\Sigma)$ függvényt ismerjük és szükségünk van $R(\zeta)$-ra vagy fordítva.
A kapcsolat levezetéséhez (\ref{eq-dipol-imp}) és (\ref{eq-imp-idoall}) egyenletekből érdemes kiindulni, mivel mindkét függvény kapcsolata ismert a $\ZZ(\sss)$ impedancia függvénnyel.
Komplex függvényekre igazak a következő logaritmikus azonosságok: \begin{equation}\label{eq-kompl-log1} \log(\ZZ) = \log\bigl(\abs(\ZZ)\bigr)+j\cdot\arcus(\ZZ), \end{equation} \begin{equation}\label{eq-kompl-log2} \imag{\log(\ZZ)} = \arcus(\ZZ). \end{equation} Ezek alapján (\ref{eq-dipol-imp}) átalakítható az \begin{equation}\label{eq-dipol-imp-jo} I_d(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\arcus\Bigr(\ZZ\bigr(\sss=-\exp(\Sigma)\bigl) \Bigl) \end{equation} alakra. $\ZZ(\sss)$ helyére a (\ref{eq-imp-idoall}) egyenletet helyettesítve egy olyan összefüggést kapunk, ami megadja a dipólus intenzitás függvény és az időállandó spektrum egyirányú kapcsolatát. Figyelembe kell vennünk ugyanakkor, hogy
Ezek alapján: \begin{equation}\label{eq-id-rz-traf-pre} I_d(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\arcus\infint \frac{R(-x)}{1-\exp(\Sigma+j\pi-x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{eq-id-rz-traf} I_d(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\arcus\infint \frac{R(-x)}{1-\exp(\Sigma-x)}\dd x \end{equation} Ez egy korrelációs integrál. Ha az integrandus számlálóját tükrözzük, akkor konvolúcióra jutunk: \begin{equation}\label{eq-id-rz-konv-pre} I_d(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\arcus\infint \frac{R_M(x)}{1-\exp(\Sigma-x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{eq-id-rz-konv} \boxed{I_d(x)=\frac{1}{\pi}\arcus\left(R_M(x)\otimes\frac{1}{1-\exp(x)}\right)} \end{equation} ahol $R_M(x)=R(-x)$ a tükrözött időállandó spektrum.
Az időállandó spektrum $\rightarrow$ dipólus intenzitás függvény transzformációs sémát ezzel megkaptuk. A másik irány meghatározásához induljunk ki a (\ref{eq-imp-dipol})-es egyenletből. Vegyük mindkét oldal exponenciális függvényét: \begin{equation}\label{eq-expimp-expid} \exp\Bigl(\log\bigl(\ZZ(\sss)\bigr)\Bigr)=\ZZ(\SSS)=R_0\cdot \exp\left(\infint-I_d(x)\frac{\exp(\SSS-x)}{1+\exp(\SSS-x)}\dd x\right) \end{equation} Behelyettesítve $\SSS=\Sigma+j\pi$-t: \begin{equation}\label{eq-impsigma-expid} \ZZ(\Sigma)=R_0\cdot\exp\left(\infint-I_d(x)\frac{\exp(\Sigma+j\pi-x)}{1+\exp(\Sigma+j\pi-x)}\dd x\right) \end{equation} Behelyettesítve (\ref{eq-impsigma-expid})-t a (\ref{eq-idoall-imp}) egyenletbe: \begin{equation}\label{eq-rsigma-imexpid} R(\Sigma)=\frac{1}{\pi}\imag{R_0 \exp\left(\infint-I_d(x)\frac{-\exp(\Sigma-x)}{1-\exp(\Sigma-x)}\dd x\right)} \end{equation} Az $R_0$ és egy negatív előjel kiemelése után a \begin{equation}\label{eq-rsigma-idx} R(\Sigma)=\frac{1}{\pi}R_0\cdot\imag{\exp\left(\infint I_d(x)\frac{\exp(\Sigma-x)}{1-\exp(\Sigma-x)}\dd x\right)} \end{equation} alakra jutunk.
A (\ref{eq-id-rz-konv}) esetén alkalmazott tükrözéssel ismét konvolúciós egyenletre jutottam: \begin{equation}\label{eq-rz-id-konv} \boxed{R_M(x)=\frac{1}{\pi}R_0\cdot\imag{\exp\left(I_d(x)\otimes\frac{\exp(x)}{1-\exp(x)}\right)}} \end{equation}
A (\ref{eq-id-rz-konv}) és (\ref{eq-rz-id-konv}) egyenletekből jól látszik, hogy ezek az összefüggések nemlinárisak az $\arcus()$ és $\exp()$ függvények miatt. A konvolúciós lépés lineáris, vagyis a transzformációk egy lineáris és egy azt követő nemlineáris lépésből állnak.
A (\ref{eq-id-rz-konv-pre}) és (\ref{eq-rsigma-idx}) egyenletek kiértékelésekor több gyakorlati problémába ütközünk. Ezek improprius integrálok, szakadásuk van, ha a nevező zérus. Ez a probléma feloldható, mivel az $1/\bigl(1-\exp(x)\bigr)$ integráljának létezik zárt alakú kifejezése, és a szakadásos tartományban alkalmazható Cauchy főérték tétele [13]. Egy másik praktikus megoldás az eredeti egyenlet módosítása: \begin{equation}\label{eq-id-rz-mod} I_d(\Sigma)=\lim_{\szog\rightarrow 0}\frac{1}{\pi-\szog}\arcus\left(\infint \frac{R(-x)}{1-\exp(\Sigma-j\szog-x)}\dd x\right) \end{equation} Az így behozott hiba megegyezik egy keskeny impulzussal való konvolúció eredményével [14]: \begin{equation}\label{eq-konv-hiba} e(z)=\frac{1}{\pi-\szog}\frac{\sin\szog\cdot\exp(z)}{1-2\cos\szog\exp(z)+\exp(2z)}, \end{equation} ahol a keskeny impulzus integrálja egységnyi, félértékszélessége közel $2\szog$. Ez az impulzus tulajdonképpen megegyezik (\ref{eq-er-hibafv}) impulzussal egy $z=-z$ tükrözéstől eltekintve. Az időállandó spektrum számításakor ugyanez a technika alkalmazható.
Ahhoz, hogy demonstrálni tudjuk gyakorlati példákkal is az előző rész eredményeit, egy olyan tesztstruktúrát választottam, aminek analitikusan ismert leíró függvényei vannak. Ez a struktúra egy elosztott termikus RC hálózat, a gömbszerű hőterjedés végtelen féltérben (. ábra) [15]. A bemeneti kapu egy $r_0$ sugarú félgömb. Felhasználva a probléma analitikus megoldását [16] a bemeneti impedancia \begin{equation}\label{eq-felter-imp} \ZZ(\sss)=\frac{1}{2\pi\lambda r_0}\frac{1}{1+r_0\sqrt{\sss c/\lambda}} \end{equation} ahol $\lambda$ és $c$ az egységnyi térfogatra vett hővezetőképesség és hőkapacitás.
Felhasználva a (\ref{eq-idoall-imp}) és (\ref{eq-dipol-imp-jo}) egyenleteket a két leíró függvény analitikusan meghatározható: \begin{equation}\label{eq-elosztott-rz-pelda} R(\sigma)=\frac{1}{2\pi^2}\frac{1}{\lambda}\frac{\sqrt{\sigma c/\lambda}}{1+r_0^2 \sigma c/\lambda} \end{equation} \begin{equation}\label{eq-elosztott-id-pelda} I_d(\sigma)=\frac{1}{\pi}\arctan\left(r_0\sqrt{c/\lambda}\sqrt{\sigma}\right). \end{equation}
Az eredmények teszteléséhez a transzformációkat C programozási nyelven valósítottam meg. Először a $R(\zeta)\rightarrow I_d(\Sigma)$ irányt teszteltem (\ref{eq-id-rz-konv-pre}) numerikus megoldásával. Az alkalmazott mintavételezési gyakoriság $0.02$. Az integrandus szakadását $\szog=0.02$ korrekcióval kerültem el. Az analitikus és a numerikusan számított eredmény a . ábrán látható. Jól látható, hogy az egyezés a számított és az analitikus eredmények között nagyon jó.
A transzformáció $I_d(\Sigma)\rightarrow R(\zeta)$ teszteléséhez a (\ref{eq-rsigma-idx}) integrált határoztam meg numerikusan. A mintavételezés szintén $0.02$, $\szog=0.02$. Az analitikus függvény és a numerikus számítás eredménye látható a . ábrán. Látható, hogy az egyezés ebben az esetben is rendkívül jó.
Az $R(\zeta)$ és $I_d(\Sigma)$ rendszerjellemző függvények elsődleges felhasználása az elosztott hálózatok területe, de természetesen használhatóak koncentrált paraméteres hálózatok jellemzésére is. Ebben az esetben az időállandó spektrum csak diszkrét spektrum vonalakat fog tartalmazni. A dipólus intenzitás függvény egy távíró jelre emlékeztet, ahol a $0\rightarrow 1$ átmenet pólust, az $1\rightarrow 0$ átmenet zérust jelent [1].
Második példa egy koncentrált paraméteres RC hálózat. Ebben az esetben (\ref{eq-id-rz-konv-pre}) és (\ref{eq-rsigma-idx}) transzformációk szummázással helyettesíthetőek: \begin{equation}\label{eq-konc-szumma} I_d(\Sigma)=\lim_{\szog\rightarrow 0}\frac{1}{\pi-\szog}\arcus\sum_i \frac{R_i}{1-\exp(\Sigma+j\szog-x_i)}, \end{equation} ahol $R_i, \tau_i$ az időállandó spektrum diszkrét vonalai és $x_i=\log(1/\tau_i)=-\log(\tau_i)$. A vizsgált koncentrált paraméteres hálózat négy pár RC tagot tartalmaz.* Az elemértékek a . táblázatban láthatóak.
| $\tau [\mu \mathrm{s}]$ | 316 | 100 | 31.6 | 10 |
| Amplitúdó $[\mathrm{k}\Omega]$ | 1 | 2 | 1 | 2 |
Ezek az értékek egyértelműen meghatározzák a példahálózat időállandó spektrumát. Minden RC tag egy spektrum vonalat hoz létre $R_i$ amplitúdóval a $\tau_i$ helyen. A (\ref{eq-konc-szumma}) alkalmazásával meghatározhatjuk a hálózat dipólus intenzitás függvényét. A számított eredmény az analitikussal együtt a . ábrán látható. Az alkalmazott mintavételezés gyakorisága $0.02$, $\szog=0.002$.
Természetesen az $I_d(\Sigma)\rightarrow R(\zeta)$ is tesztelhető koncentrált paraméteres hálózat esetén. (\ref{eq-rsigma-idx}) integrált kell numerikusan meghatározni. Az alkalmazott mintavételi gyakoriság $0.02$, $\szog=0.02$ volt. A számított és az analitikus eredmény a . ábrán látható.
Ennek az eredménynek a kiértékelését nagyban megkönnyíti, ha definiáljuk az időállandó spektrum kumulatív integrál függvényét. Diszkrét időállandók esetén ennek egy lépcsőfüggvény lesz az eredménye. A . ábrán látható, hogy az analitikus lépcsőfüggvényt közelíti a számított időállandó spektrumból meghatározott integrálfüggvény.
Hendrik W. Bode a több mint hat évtizede megjelent könyvében [17] írta le a villamos hálózatleíró függvények valós és képzetes része közötti kapcsolatot. Az egyik jelentős állítása, ha ismerjük a leíró függvény valós részét, az egyértelműen meghatározza a képzetest és viszont.† A hálózatleíró függvények kapcsolatát megfogalmazó integrálegyenletek egy része a logaritmikus frekvencia tengelyen lett megfogalmazva. Az egyik ilyen Bode integrál a következő alakú [17]: \begin{equation}\label{eq-bodeint} b_c=\frac{1}{\pi}\infint \frac{\dd a}{\dd u}\log\coth\frac{|u|}{2}\dd u \end{equation} ahol $a$ a valós, $b_c$ a hálózati függvény képzetes része az $\omega_c$ frekvencián. $u$ a logaritmikus frekvencia, $u=\log(\omega/\omega_c)$. Ez lényegében egy konvolúciós egyenlet annak ellenére, hogy Bode ezt nem mondta ki. Ugyanez az összefüggés igaz egy $\mathbf{\Gamma}(\omega)$ átviteli függvényű erősítő erősítésére és fázisára is. Ez nem meglepő, hiszen $\mathbf{\Gamma}$ logaritmusa is egy komplex függvény, ahol az erősítés mint valós, a fázis mint képzetes tag jelenik meg: \begin{equation}\label{eq-gammalog} \log(\mathbf{\Gamma}) = \log |\mathbf{\Gamma}| + j\cdot\arcus(\mathbf{\Gamma}), \end{equation} ismét egy valós rész $\leftrightarrow$ képzetes rész kapcsolattal kerültünk szembe.
A Bode integrálok széles körben használtak az irányítástechnikai rendszerek tervezésekor. Visszacsatolt rendszerek stabilitásának vizsgálatakor szükség van a fázishatárok (fázistartalékok) meghatározására, ami (\ref{eq-bodeint}) kiértékelésével elvégezhető. Számos példaalkalmazás található a szakirodalomban, pl. [18, 19, 20].
A valós és képzetes rész kapcsolatát később Solodownikow [21] és mások is vizsgálták. Solodownikow a Hilbert transzformációt használta fel a kapcsolat leírására. Az egyik egyenlete: \begin{equation}\label{eq-solodownikow} \imag{\omega}=\frac{1}{\pi}\infint\frac{\real{u}}{u-\omega}\dd u \end{equation} ahol $u$ a lineáris frekvencia. Érdekes megfigyelni, hogy ez az összefüggés lényegében egy korrelációs integrál.
Látható, hogy a valós/képzetes rész kapcsolatát több különböző módon is megfogalmazták az elmúlt évtizedekben. Célom ennek a kapcsolatnak a kifejezése a logaritmikus tartományon konvolúciós alakban. Ezzel a kiegészítéssel kívánom demonstrálni az elosztott RC hálózatok leírására használt konvolúciós hálózatelméleti apparátus kapcsolatát a Bode integrállal.
Tegyük fel, hogy a hálózatjellemző függvényünk valós része ismert. (\ref{eq27}) alkalmazásával számítsuk ki a $\dd a/\dd z$ időtartománybeli választ: \begin{equation}\label{bodeq3} \frac{\dd a}{\dd z}=-\frac{2}{\pi}\WW^{\prime}_I(-\Omega) \otimes \real{\ZZ(\Omega)}\,. \end{equation} Ebből a válaszból a képzetes rész kiszámítható (\ref{eq15}) alkalmazásával: \begin{equation}\label{bodeq4} \imag{\ZZ(\Omega)}=\WW_I(\Omega)\otimes \frac{\dd a}{\dd z}=\WW_I(\Omega)\otimes-\frac{2}{\pi} \WW^{\prime}_I(-\Omega)\otimes\real{\ZZ(\Omega)}\,. \end{equation}
Kihasználva a konvolúció asszociatív tulajdonságát egyesítsük a két operátorfüggvényt: \begin{equation}\label{bodeq5} \imag{\ZZ(\Omega)}=\WW_{\text{Re Im}}(\Omega)\otimes\real{\ZZ(\Omega)} \end{equation} ahol \begin{equation}\label{bodeq6} \WW_{\text{Re Im}}(\Omega)=-\frac{2}{\pi}\WW_I(\Omega)\otimes\WW^{\prime}_I(-\Omega)\,. \end{equation}
$\WW_{\text{Re Im}}(\Omega)$ az operátorfüggvény a Valós $\mathbf{\rightarrow}$ Képzetes transzformációhoz.
Annak érdekében, hogy csak egy operátorfüggvényünk legyen, végezzük el a konvolúciót az előző egyenletben ($A$ egy $\Omega$-hoz hasonló változó): \begin{equation}\label{bodeq7} \WW_{\text{Re Im}}(A) = -\frac{2}{\pi}\infint \sin\bigl(\exp(\Omega)\bigr)\cdot \exp(\Omega-A)\cdot \cos\bigl(\exp(\Omega-A)\bigr)\dd \Omega\,. \end{equation} $\WW_{\text{Re Im}}(A)$ integrálja felírható, mint \begin{equation}\label{bodeq8} \int \WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A=\frac{2}{\pi}\infint\sin\bigl(\exp(\Omega)\bigr)\cdot \sin\bigl(\exp(\Omega-A)\bigr)\dd \Omega + \text{konstans} \end{equation} A konstans elhagyható, mivel a kifejezést deriválni fogjuk az elkövetkezendő lépések során. Behelyettesítve az $\omega=\exp(\Omega)$ kifejezést: \begin{equation}\label{bodeq9} \int \WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\infty\sin(\omega)\cdot \sin\left(\frac{\omega}{\exp(A)}\right)\frac{\dd \omega}{\omega}\,. \end{equation} A megfelelő trigonometrikus összefüggéseket felhasználva: \begin{equation}\label{bodeq10} \int \WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty\biggl( \cos\Bigl(\omega\cdot \bigl(1-\exp(-A)\bigr)\Bigr)-\cos\Bigl(\omega\cdot \bigl(1+\exp(-A)\bigr)\Bigr) \biggr)\frac{\dd \omega}{\omega} \end{equation} $$ \int \WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A =\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty\dd \omega$$ \begin{equation}\label{bodeq11} \left(\frac{\cos\Bigl(\omega\cdot \bigl(1-\exp(-A)\bigr)\Bigr)-\exp(-\omega)}{\omega}-\frac{\cos\Bigl(\omega\cdot \bigl(1+\exp(-A)\bigr)\Bigr)-\exp(-\omega)}{\omega} \right)\,. \end{equation} Felhasználva, hogy \begin{equation}\label{bodeq12} f(C)=-\int\limits_0^\infty \frac{\cos(x\cdot C)-\exp(-x)}{x}\dd x=\log\left|C\right| \end{equation} (bizonyítás a . függelékben) \[ \int\WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A=\frac{1}{\pi}\left(\log\Bigl|\bigl(1+\exp(-A)\bigr)\Bigr|-\log\Bigl|\bigl(1-\exp(-A)\bigr)\Bigr|\right)= \] \begin{equation}\label{bodeq13} =\frac{1}{\pi}\log\left|\frac{1+\exp(-A)}{1-\exp(-A)}\right| \end{equation} $$ \int\WW_{\text{Re Im}}(A)\dd A=\frac{1}{\pi}\log\left|\frac{\exp(A/2)+\exp(-A/2)}{\exp(A/2)-\exp(-A/2)}\right|=$$ \begin{equation}\label{bodeq14} =\frac{1}{\pi}\log\bigl|\coth(A/2)\bigr|=\frac{1}{\pi}\log\coth\bigl(|A|/2\bigr)\,. \end{equation} Deriválás után a Valós $\rightarrow$ Képzetes transzformáció operátorfüggvénye: \begin{equation}\label{bodeq144} \boxed{\WW_{\text{Re Im}}(A)=-\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sinh(A)}}\,. \end{equation}
(\ref{bodeq14}) egyenletben feltűnt ugyanaz a $\log \coth (|A|/2)$ függvény, mint amit az eredeti (\ref{eq-bodeint}) Bode integrálban is láttunk.
Első pillantásra ez az eredmény nem tűnik használhatónak, mert az $1/\sinh(A)$ függvénynek szakadása van $A = 0$-nál. Szerencsére továbbra is ki tudjuk integrálni ezt a függvényt Cauchy főérték tételének segítségével [13].
Tegyük fel, hogy a hálózatjellemző függvényünk képzetes része ismert. (\ref{eq28}) egyenletet felhasználva a $\dd a/\dd z$ időtartománybeli válasz kiszámítható: \begin{equation}\label{bodeq15} \frac{\dd a}{\dd z}=\frac{2}{\pi}\WW^{\prime}_R(-\Omega)\otimes \imag{\ZZ(\Omega)}\,. \end{equation} Ebből a válaszból a valós rész kiszámítható (\ref{eq14}) segítségével: \begin{equation}\label{bodeq16} \real{\ZZ(\Omega)}=\WW_R(\Omega)\otimes\frac{\dd a}{\dd z}=\WW_R(\Omega)\otimes\frac{2}{\pi}\WW^{\prime}_R(-\Omega)\otimes\imag{\ZZ(\Omega)}. \end{equation} Most egyesítsük a két operátorfüggvényt, aminek az eredménye \begin{equation}\label{bodeq17} \real{\ZZ(\Omega)}=\WW_{\text{Im Re}}(\Omega)\otimes\imag{\ZZ(\Omega)} \end{equation} ahol \begin{equation}\label{bodeq18} \WW_{\text{Im Re}}(\Omega)=\frac{2}{\pi}\WW_R(\Omega)\otimes\WW^{\prime}_R(-\Omega)\,. \end{equation} $\WW_{\text{Im Re}}(\Omega)$ a Képzetes $\rightarrow$ Valós transzformáció operátorfüggvénye.
Ennek levezetésének lépései teljesen analóg módon elvégezhetőek, mint a . részben. Ennek eredménye: \begin{equation}\label{bodeq19} \boxed{\WW_{\text{Im Re}}(A)=\frac{1}{\pi}\frac{\exp(-A)}{\sinh(A)}}\,. \end{equation}
2. tézis. Az elosztott RC hálózatelmélet konvolúciós eszközkészletének egyes impedancia alapon kidolgozott összefüggéseit admittancia alapúra fogalmaztam át.
2.1. tézis. Definiáltam az időállandó spektrum és az dipólus intenzitás komplex admittancia alapú párját. Levezettem e két jellemző függvény kiszámításának módját. [JN1]
$$ G(\zeta=-x)=\frac{1}{\pi}\imag{\mathbf{Y}(\mathbf{s}=-\exp(x))} $$
$$ \log\bigl(\mathbf{Y(S)}\bigr)=\log(G_0)-\infint -I_{dY}(x)\frac{\exp(\mathbf{S}-x)}{1+\exp(\mathbf{S}-x)}\dd x $$
2.2. tézis. A (termikus) tranziens mérések kiértékelésére használt NID módszer az impedancia tartományban működik, ahol a vizsgált rendszer áram egységugrásra adott feszültség válaszát használjuk fel. Kidolgoztam az admittancia alapú komplementer eljárást, ahol feszültség egységugrás áram válasza a számítás kiindulása. [JN1]
$$ \frac{\dd i}{\dd z}=-G(z)\otimes \exp\bigl(z-\exp(z)\bigr) $$
Eddig az $R(\zeta)$ valamint $I_d(\Sigma)$ függvények kapcsolatát tárgyaltam. A teljesség igénye miatt érdemes megemlíteni, hogy ezen függvények $\YY(\sss)$ egykapu admittancia alapú párja is definiálható.
Egyszerűen előállítható az admittancia alapú leírás Foster második kanonikus alakját felhasználva (. ábra). Egy fokozat admittanciája \begin{equation}\label{neq19} \mathbf{Y}=\frac{G}{1+G/\mathbf{s}C}=\frac{G}{1+1/\mathbf{s}\tau}\,. \end{equation} Felhasználva (\ref{eq1}) és (\ref{eq-sss}) logaritmikus változókat, \begin{equation}\label{eq-adm-egy-fok} \YY = \frac{G}{1+\exp(-\SSS-\zeta)}\,. \end{equation} Feltéve, hogy egy elosztott hálózatnak folytonos időállandó spektruma van \begin{equation}\label{neq21} \mathbf{Y(S)}=\infint\frac{G(\zeta)}{1+\exp(-\mathbf{S}-\zeta)}\dd\zeta\,. \end{equation} Alkalmazzuk (\ref{neq21}) egyenletet a komplex sík egy olyan vonalán, ami nagyon közel van, de nem esik egybe a negatív valós tengellyel (az integrálási út és a tengely egy $\szog$ szöget zár be): \begin{equation}\label{neq22} \mathbf{s}=-(1+j\szog)\exp(\Sigma) \end{equation} \begin{equation}\label{neq23} \exp(-\mathbf{S})=\frac{1}{\mathbf{s}}=\frac{1}{-(1+j\szog)\exp(\Sigma)} \end{equation} \begin{equation}\label{neq24} \mathbf{Y}(\Sigma)=\infint\frac{G(-x)}{1-\frac{1}{1+j\szog}\exp(-\Sigma+x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{neq25} \mathbf{Y}(x)=G(-x)\otimes\frac{1}{1-\frac{\exp(-x)}{1+j\szog}}=G(-x)\otimes \mathbf{W}(x) \end{equation} \begin{equation}\label{neq26} \imag{\mathbf{W}(x)}=\frac{-\szog \exp(x)}{\bigl(1-\exp(x)\bigr)^2+\szog^2\exp(x)^2} \end{equation} [1] bizonyítja, hogy \begin{equation}\label{neq27} \lim_{\delta\rightarrow 0}\imag{\mathbf{W}(x)}=-\pi\delta(x) \end{equation} \begin{equation}\label{neq28} \boxed{G(\zeta=-x)=\frac{1}{\pi}\imag{\mathbf{Y}(\mathbf{s}=-\exp(x))}} \end{equation} A $G(\zeta)$ függvény az admittancia alapú időállandó spektrum.
Következő lépésként (\ref{eq-imp-dipol}) admittancia alapú párját kell levezetni. $\mathbf{Z(s)}=1/\mathbf{Y(s)}$ helyettesítéssel \begin{equation}\label{neq29} \log\left(\frac{1}{\mathbf{Y(S)}}\right)=-\log\bigl(\mathbf{Y(S)}\bigr)=\log(R_0)-\infint I_d(x)\frac{\exp(\mathbf{S}-x)}{1+\exp(\mathbf{S}-x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{neq30} \boxed{\log\bigl(\mathbf{Y(S)}\bigr)=\log(G_0)-\infint -I_{dY}(x)\frac{\exp(\mathbf{S}-x)}{1+\exp(\mathbf{S}-x)}\dd x} \end{equation} ahol $I_{dY}$ a dipólus intenzitás függvény admittanciákra, $G_0$ a hálózat DC vezetése. Fontos felismerni, hogy $I_{dY}=-I_d$, vagyis az admittancia alapú dipólus intenzitás és az impedancia alapú dipólus intenzitás csak előjelben térnek el.
Az időtartománybeli viselkedés szintén fontos, elengedhetetlen ennek szintén a vizsgálata. (\ref{neq21}) az inverz Laplace transzformációval alakítható át az időtartománybeli leírássá: \begin{equation}\label{neq31} \mathbf{Y(s)}=\infint \frac{G(-x)}{1+\exp(-x)/\mathbf{s}}\dd x \end{equation} A feszültség gerjesztés legyen $u=\varepsilon(t)$ egységugrás függvény $1/\mathbf{s}$ Laplace transzformálttal. Az áram válasz \begin{equation}\label{neq32} \mathbf{I}(\sss)=\mathbf{Y(s)}\cdot\frac{1}{\mathbf{s}}=\infint\frac{G(-x)}{\mathbf{s}+\exp(-x)}\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{neq33} i(t)=\infint G(-x)\cdot \exp\bigl(-t/\exp(-x)\bigr)\dd x \end{equation} Ezt az egyenletet megvizsgálva kijelenthető, hogy az áram válasz a komponensek exponenciálisan csökkenő válaszainak összessége és $G$ ezen exponensek spektruma.
A NID módszer [1] egy dekonvolúció alapú módszer, ami egy széles körben elterjedt identifikációs módszerré vált RC egykapuk vizsgálatára az elmúlt két évtizedben. Ez a módszer az impedancia tartományban működik, a vizsgált hálózat áram egységugrás gerjesztésre adott feszültség válaszát használja. A módszer alapegyenlete (\ref{konvossz}), a fizikai mennyiségeket tükröző jelöléssel felírva: \begin{equation}\label{neq34} \frac{\dd u}{\dd z}=R(z)\otimes \exp\bigl(z-\exp(z)\bigr) \end{equation} Miután rendelkezésre áll az $u(z)$ mért függvény, egy numerikus deriválás és egy dekonvolúciós lépés után megkapjuk az $R(z)$ időállandó spektrumot [22]. A módszer széles körben elterjedt termikus struktúrák hőáram térképének számításához, mint IC tokok, hűtőbordák, stb. [4]. Ebben az esetben a . fejezetben is bemutatott termikus-elektromos analógiát használtuk ki. A szokásos megfeleltetésnél a feszültség reprezentálja a hőmérsékletet, az áram a hőfluxust.
A módszer admittancia alapú definiálása egyértelműnek tűnik. Ebben az esetben feszültség gerjesztést alkalmazunk és az áram választ mérjük. Ebben az esetben a GC megfelelőjét kell használnunk a kiindulási RC hálózatunknak, ami párhuzamosan kötött soros kapacitás-vezetés tagokból áll (. ábra).
A hálózat válasza (\ref{neq33}) felhasználásával felírható: \begin{equation}\label{neq35} i(z)=\infint G(-x)\cdot\exp\bigl(-\exp(z+x)\bigr)\dd x \end{equation} ahol $t$-t $\exp(z)$-vel helyettesítjük. Minkét oldalt $z$ szerint deriválva az eredmény: \begin{equation}\label{neq36} \frac{\dd i}{\dd z}=-\infint G(-x)\exp\bigl(-\exp(z+x)\bigr)\cdot\exp(z+x)\dd x \end{equation} \begin{equation}\label{neq37} \boxed{\frac{\dd i}{\dd z}=-G(z)\otimes \exp\bigl(z-\exp(z)\bigr)} \end{equation} Ha megmérjük a feszültség egységugrásra adott $i(t)$ választ, ki tudjuk számítani a hozzá tartozó $G(z)$ időállandó spektrumot. Az eljárás hasonló a (\ref{neq34}) egyenlet által meghatározotthoz.
Az előnye ennek az identifikációs módszernek az egyszerűbb mérési elrendezés tisztán elektromos hálózatok vizsgálata esetén. Gyakran egyszerűbb pontos feszültség egységugrást előállítani, mint áram ugrásfüggvényt. Természetesen termikus hálózatok vizsgálatakor ez nem járható út, mivel hőmérsékletugrást rendkívül nehéz megvalósítani termikus RC struktúrákon.
3. tézis. Az elosztott hálózatelmélet konvolúciós eszközkészletét, valamint a NID módszerre épülő méréstechnikai eljárást több, gyakorlati szempontból fontos kiegészítéssel láttam el.
3.1. tézis. Eljárást dolgoztam ki az időállandó spektrum rendszeres mérési hibáinak korrekciójára. [C1][J2]
$$ K(\tau)=\int\limits_{t_{q_0}}^{t_{q_1}}\bigl(e(x)\otimes w(x)\bigr)\cdot \exp(x/\tau) \dd x $$
$$ D(\tau)=\frac{D_m(\tau)}{K(\tau)} $$
3.2. tézis. Verifikációs eljárást dolgoztam ki elosztott RC hálózatok identifikációs algoritmusainak minősítésére. [C2][J3]
$$ \frac{\dd i}{\dd z}=-G(z)\otimes \exp\bigl(z-\exp(z)\bigr) $$
Termikus karakterizációs problémák esetén az időállandó spektrum a termikus ugrás válaszból kerül meghatározásra a NID módszer segítségével [4, 5]. A NID módszer az ideális ugrásfüggvényre adott választ várja. Általános esetben a termikus tranziens válasz mérésből származik, ami sosem teljesíti ezt a feltételt, foglalkoznunk kell a nemidealitásokkal. A termikus karakterizációhoz más módszereket is alkalmaznak, mint a multipoint moment matching módszer [23], azonban ezeket nem érintem a továbbiakban. A problémakört a NID módszer vizsgálatán keresztül kívánom megvizsgálni.
A nemidealitások fizikai forrásai a következőek:
Szükséges tisztázni ezen korlátozások hatását a termikus tranziens mérés eredményére azért, hogy
Ebben a tézispontban a felsorolt négy ok közül az első hárommal foglalkozom. Ezek a lineáris hálózatok elmélete alapján tárgyalhatóak. A negyediket (nemlineáris hatások) egy korábbi szakcikk már feldolgozta [24].
A terület különösen releváns, mivel a termikus tranziens mérési eljárás szabványban rögzített módszer félvezető hőforrás-tok hőellenállás mérésére [2, 3], ezért a pontosság létfontosságú.
A vizsgálat során az időállandó spektrumot tekintem a termikus egykapuk elsődleges leíró függvényének. Minden nemidealitást úgy kezelek, mint az időállandó spektrum egy karakterisztikus torzulását.
A számításokban a lineáris időtengelyen értelmezett $D(\tau)$ időállandó spektrumot használom (lásd (\ref{eq-dtau})). Ez egyértelmű kapcsolatban van a $z=\log(t)$ logaritmikus időtengelyen értelmezett $R(z)$ spektrummal: \begin{equation}\label{eqq5} R(z)=\exp(z)\cdot D\bigl(\tau=\exp(z)\bigr). \end{equation} Ebből következően a megállapítások az $R(z)$ spektrumra is érvényesek lesznek.
A $D(\tau)$ időállandó spektrummal rendelkező egykapu egységugrás válaszfüggvénye \begin{equation} a(t)=\int\limits_{0}^{\infty}D(\tau)\cdot \bigl(1-\exp(-t/\tau) \bigr)\dd\tau\,, \end{equation} ha $t\geq 0$, különben $a(t)=0$.
A Dirac-$\delta$ válaszfüggvénye ugyanennek az egykapunak \begin{equation}\label{eq3} s(t)=\frac{\dd a}{\dd t}=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{D(\tau)}{\tau}\exp(-t/\tau)\dd\tau\,, \end{equation}koncentrált paraméteres hálózat elemértékei ha $t\geq 0$, különben $s(t)=0$.
A tényleges gerjesztés $E(t)$, ami $0$ ha $t < t_{E_0}$, $1$ ha $t > t_{E_1}$ (lásd . ábra). Ennek a függvénynek a deriváltja \begin{equation}\label{eq4444} e(t)=\frac{\dd E}{\dd t}. \end{equation}
A tényleges gerjesztés mellett mérhető $m(t)$ válaszfüggvény konvolúciós integrállal számítható \begin{equation}\label{eq5} m(t)=e(t)\otimes s(t)=\int\limits_{t_{E_0}}^{t_{E_1}}e(x) \cdot \underbrace{\int\limits_{0}^{\infty} \frac{D(\tau)}{\tau}\exp\left(-\frac{t-x}{\tau}\right)\dd\tau} \dd x\,, \end{equation} A megjelölt integrál zérus, ha $t-x < 0$, vagyis $t < x$ (lásd (\ref{eq3}) egyenlet). Az $x$ szerinti integrálás során ezt a szakaszt el kell kerülni, ha $t > t_{E_1}$. Az $m(t)$ mért függvényre a $(0,\infty]$ idő intervallumban van szükségünk az időállandó spektrum identifikálásához. Ez azt jelenti, hogy $t_{E_1}$ kisebb vagy egyenlő kell legyen zérussal, hogy teljesüljön ez a feltétel. A gerjesztés a . ábrán teljesíti ezt a feltételt. (\ref{eq6})-(\ref{eq10}) levezetés ezen feltétel teljesülése esetén igaz. \begin{equation}\label{eq6} m(t)=\int\limits_{t_{E_0}}^{t_{E_1}}\int\limits_{0}^{\infty} e(x) \cdot \frac{D(\tau)}{\tau} \exp(-t/\tau)\exp(x/\tau)\dd\tau \dd x \end{equation} (\ref{eq6}) átcsoportosítható \begin{equation} m(t)=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{D(\tau)}{\tau} \int\limits_{t_{E_0}}^{t_{E_1}}e(x)\cdot \exp(x/\tau) \dd x \exp(-t/\tau)\dd\tau \end{equation} Tehát a $D_m$ mért spektrum† \begin{equation}\label{eq8} D_m(\tau)=D(\tau)\int\limits_{t_{E_0}}^{t_{E_1}}e(x)\cdot \exp(x/\tau) \dd x=D(\tau)\cdot K(\tau)\,, \end{equation} ahol \begin{equation} K(\tau)=\int\limits_{t_{E_0}}^{t_{E_1}}e(x)\cdot \exp(x/\tau)\dd x\,. \end{equation} $K(\tau)$ egy korrekciós függvény, ami a gerjesztés karakterisztikájának ismeretében számítható. Ennek a függvénynek a birtokában a mért időállandó spektrumon bevezethető a korrekció: \begin{equation}\label{eq10} \boxed{D(\tau)=\frac{D_m(\tau)}{K(\tau)}}. \end{equation} Még meg kell oldani a $t_{E_1}>0$ helyzet kezelését (. ábra).
Az (\ref{eq5}) kifejezés a $ t_{E_0} < t < t_{E_1} $ tartományban felírható: \begin{equation} m(t)=e(t)\otimes s(t)=\int\limits_{t_{E_0}}^{t}e(x)\cdot \int\limits_{0}^{\infty}\frac{D(\tau)}{\tau}\exp\left(-\frac{t-x}{\tau}\right)\dd\tau \dd x \end{equation} Átrendezések után: \begin{equation}\label{eq12} D_m(\tau)=D(\tau)\int\limits_{t_{E_0}}^{t}e(x)\cdot \exp(x/\tau) \dd x=D(\tau)\cdot K(\tau,t) \end{equation} Mivel $K$ csak az idő függvénye, a mért választ egy tisztán idővariáns hálózattal lehet azonosítani. Ez nyilvánvalóan nem igaz a mi esetünkben. A $K(\tau)$-val való spektrum korrekció jelen esetben nem értelmezhető.
A fentiek alapján, ha szeretnénk egyszerű hibakorrekciós módszernek használni az (\ref{eq10}) összefüggést, teljesítenünk kell a $t_{E_1} < 0 $ feltételt a mérés során. Ezek szerint praktikus tartani egy meghatározott korai bekapcsolási időt a gerjesztéshez.
A következő példában tegyük fel, hogy a gerjesztésünk a . ábrán látható.
A gerjesztés deriváltja: \begin{equation}\label{eqexc} e(t)=\frac{1}{r}~~~\text{ha}~~~d-\frac{r}{2} < t < d+\frac{r}{2} \,. \end{equation} A korrekciós függvény a következő módon határozható meg: \[K(\tau)=\frac{1}{r}\left.\int\limits_{d-\frac{r}{2}}^{d+\frac{r}{2}}\exp(x/\tau)\dd x=\frac{\tau}{r}\exp(x/\tau)\right|_{d-\frac{r}{2}}^{d+\frac{r}{2}} \] \[K(\tau)=\frac{2\tau}{r}\exp(d/\tau)\frac{\exp(r/2\tau)-\exp(-r/2\tau)}{2} \] \begin{equation} K(\tau)=\exp(d/\tau)\frac{\sinh{(r/2\tau)}}{r/2\tau} \end{equation} Ha például a felfutási idő $r=1\,\mu \mathrm{s}$ és az átlagos korai bekapcsolási idő $d=-2\,\mu \mathrm{s}$, akkor a $\tau=5\,\mu \mathrm{s}$ időállandó hibája $33\,\%$ és a $\tau=10\,\mu \mathrm{s}$-nak $18\,\%$ (korrekció nélkül). A hiba a kis időállandóknál szignifikáns és a nagy időállandók tartományához érve eltűnik.
Természetesen előnyös, ha a korai bekapcsolási idő annyira kicsi amennyire lehet. Határesetben $t_{E_1}=0$, $-d=r/2$ és \begin{equation} K(\tau)=\frac{\tau}{r}\bigl(1-\exp(-r/\tau) \bigr)\,. \end{equation} Ebben az esetben a hiba a $\tau=5\,\mu \mathrm{s}$ időállandóra kevesebb, mint $10\,\%$, több mint háromszor kisebb, mint a $d=-2\,\mu \mathrm{s}$ esetben.
A következő vizsgálat során a mérőerősítőt lineárisnak tekintem. Az erősítő dinamikus viselkedését a $w(t)$ súlyfüggvénye adja meg. Legyen ez a súlyfüggvény véges hosszúságú . ábrán látható módon, és $w(t)$ legyen nemnegatív. A függvény határai legyenek $t_{w_0} < t < t_{w_1}$.
A vizsgált egykapu gerjesztését tekintsük ideálisnak. Ez azt jelenti, hogy az erősítő bemenetét a vizsgált egykapu Dirac-$\delta$-ra adott $s(t)$ válaszfüggvénye gerjeszti. Az erősítő $n(t)$ kimeneti jele meghatározható a következő konvolúcióval: \begin{equation} n(t)=w(t)\otimes s(t) = \left\{ \begin{array}{l l} \displaystyle 0 & \quad \mbox{ha $t < t_{w_0}$}\\ \displaystyle\int\limits_{t_{w_0}}^{t}w(x)\cdot\int\limits_{0}^{\infty}\frac{D(\tau)}{\tau}\exp\left(-\frac{t-x}{\tau}\right)\dd\tau \dd x & \quad \mbox{ha $t_{w_0} < t < t_{w_1}$} \\ & \\ \displaystyle\int\limits_{t_{w_0}}^{t_{w_1}}w(x)\cdot\int\limits_{0}^{\infty}\frac{D(\tau)}{\tau}\exp\left(-\frac{t-x}{\tau}\right)\dd\tau \dd x & \quad \mbox{ha $t > t_{w_1}$}\\ \end{array} \right. \end{equation} Az (\ref{eq8}) és (\ref{eq12}) levezetéséhez használt matematikai lépésekhez hasonló módon, a mért $D_n(\tau)$ időállandó spektrum: \begin{equation}\label{eqq21} D_n(\tau) = \left\{ \begin{array}{l l} \displaystyle 0 & \quad \mbox{ha $t < t_{w_0}$}\\ \displaystyle D(\tau)\int\limits_{t_{w_0}}^{t}w(x)\cdot \exp(x/\tau)\dd x & \quad \mbox{ha $t_{w_0} < t < t_{w_1}$}\\ \displaystyle D(\tau)\int\limits_{t_{w_0}}^{t_{w_1}}w(x)\cdot \exp(x/\tau)\dd x & \quad \mbox{ha $t > t_{w_1}$}\\ \end{array} \right. \end{equation} ahol $D(\tau)$ az ideális időállandó spektrum az (\ref{eqq5}) egyenlet alapján. Az (\ref{eqq21}) integrál része a tényleges hiba függvény.
Megállapítható, hogy ha az $n(t)$ függvényt ideális Dirac-$\delta$ gerjesztés válaszának tekintjük, akkor az erősítő után $t < t_{w_1}$ esetén időinvariáns hálózatra jutunk. Ezzel ellentétben, ha $t > t_{w_1}$ válaszfüggvényt dolgozunk fel, az korrekt, és korrigálható a következő függvénnyel: \begin{equation} K(\tau)=\int\limits_{t_{w_0}}^{t_{w_1}}w(x)\cdot \exp(x/\tau)\dd x \end{equation}
A . ábrán látható blokkvázlaton látható a mérési elrendezés. Minden blokk a saját Dirac-$\delta$-ra adott $e(t)$, $s(t)$ és $w(t)$ válaszával jellemezhető.
Az elrendezés teljes viselkedése az alábbi konvolúciós egyenlettel írható le: \begin{equation} n(t)=m(t)\otimes w(t)=e(t)\otimes s(t) \otimes w(t)= s(t)\otimes \bigl(e(t)\otimes w(t)\bigr)=s(t)\otimes q(t) \end{equation} ahol a konvolúció kommutatív és asszociatív tulajdonságát is kihasználtuk. Ez azt jelenti, hogy a nemideális gerjesztés és az erősítő véges vágási frekvenciája egyszerűen leírható az eredményül kapott $q(t)=e(t)\otimes w(t)$ függvénnyel. Ez a tény lehetővé teszi a $q(t)$ függvény eltolását a $t < 0$ régióba, megfelelő korai bekapcsolási idejű gerjesztéssel.
Ilyen módon a teljes válaszfüggvény elméletileg tökéletes korrekcióját végezhetjük el. A korrekciós függvény \begin{equation}\label{eq19aaa} \boxed{K(\tau)=\int\limits_{t_{q_0}}^{t_{q_1}}\bigl(e(x)\otimes w(x)\bigr)\cdot \exp(x/\tau) \dd x} \end{equation} ahol $t_{q_0}=t_{E_0}+t_{w_0}$, $t_{q_1}=t_{E_1}+t_{w_1}$ és $t_{q_1} < 0$.
A következő példában ugyanazt a törtvonalas gerjesztést használom, mint az előző példában az . fejezetben.
Tegyük fel, hogy az általunk mérésre használt erősítő $\sin x/x$ jellegű frekvencia karakterisztikával rendelkezik. Ebben az esetben az időtartományban egy ablakfüggvényt kapunk. A példánkban a \begin{equation} w(t)=\varepsilon(t)-\varepsilon(t-T) \end{equation} függvényt használjuk, ahol $\varepsilon$ az egységugrás függvény és $T$ az ablakszélesség paramétere, ami egyértelmű összefüggésben van az erősítő sávszélességével.
Az (\ref{eq19aaa}) korrekciós függvény kiszámításához ki kell számolnunk a $q(t)=e(t)\otimes w(t)$ függvényt: \begin{equation}\label{eqq} q(t) = \left\{ \begin{array}{l l} \displaystyle 0 & \quad \mbox{ha $t < -d+\frac{r}{2}$}\\ ~ & \\ \displaystyle \frac{1}{rT}\left(x+d+\frac{r}{2}\right) & \quad \mbox{ha $t < -d+\frac{r}{2}$}\\ ~ & \\ \displaystyle \frac{1}{T} & \quad \mbox{ha $t < -d-\frac{r}{2}+T$}\\ ~ & \\ \displaystyle \frac{1}{T}+\frac{1}{rT}\left(-x-d-\frac{r}{2}+T\right) & \quad \mbox{ha $t < -d+\frac{r}{2}+T$}\\ ~ & \\ \displaystyle 0 & \quad \mbox{ha $-d+\frac{r}{2}+T < t$}\\ \end{array} \right. \end{equation}
Az (\ref{eq19aaa}) és (\ref{eqq}) egyenletek felhasználásával a korrekciós függvény \begin{equation} K(\tau)=\frac{\tau^2(\exp(r/\tau)-1)(\exp(T/\tau)-1)\exp\left(-\frac{2d+r}{2\tau}\right)}{rT}\,, \end{equation} ha $r < T$ és $T > 0$.
Például az átlagos korai bekapcsolási idő $d=2\,\mu \mathrm{s}$, a felfutási idő $r=1\,\mu \mathrm{s}$ és az ablakfüggvény szélessége $T=1.1\,\mu \mathrm{s}$, a különböző időállandókhoz tartozó hibák (kompenzálás nélkül) a . táblázatban láthatóak.
| $\tau [\mu \mathrm{s}]$ | 1 | 10 | 100 | 1000 |
| Hiba | 74.3% | 13.4% | 1% | 0.01% |
Természetesen ebben az esetben is előnyös lenne annyira rövid korai bekapcsolási időt használni, amennyire lehet. Ennek a határhelyzete $t_{q_1}=0, -d=r/2+T$, és ekkor a korrekciós függvény: \begin{equation}\label{eqktau} K(\tau)=\frac{\tau^2(\exp(r/\tau)-1)(\exp(T/\tau)-1)\exp\left(-\frac{r+T}{\tau}\right)}{rT} \end{equation} Ebben az esetben a korrekciós függvény $T=1.1\,\mu \mathrm{s}$ paraméterrel látható a . ábrán.
Az RC hálózatok identifikációs módszerei különösen fontos szerephez jutottak az elmúlt két évtizedben. Az integrált áramkörök termikus vizsgálata során elsődleges céllá vált a pontos és megbízható termikus kompakt modellek előállítása. A bevezetőben is bemutatott a termikus és elektromos rendszerek közötti analógia alapján nem nehéz belátni, hogy végső soron egy ekvivalens RC hálózat identifikációjára vezethető vissza a probléma. Az iparági szereplők és az általuk alkotott szabványügyi bizottságok is ezen út mentén dolgozták ki a kapcsolódó standard mérési eljárásokat. Munkám egyik indikátora volt, hogy a JEDEC†[25] bizottság az integrált áramköri tokok hőforrás-tok hőút hőellenállásának mérésére a termikus tranziens mérést állapította meg, mint szabványos eljárást [26, 27, 28]. A mérés során a vizsgált integrált áramkörre teljesítmény egységugrást adva regisztrálják a hőmérséklet emelkedését a hőforrás helyén. Az eredményül kapott görbe még nem tartalmazza közvetlenül a vizsgált struktúra alkalmas modellét, azt megfelelő feldolgozó algoritmussal kell előállítani.
A szabványban nincs rögzítve ez a kiértékelő algoritmus. Matematikailag sokféle módon el lehet jutni a megoldáshoz, és erre több módszert is kidolgoztak [23, 29, 30, 31, 32]. Mivel bárki használhat tetszőleges eszközt, algoritmust, ezért nincs garancia arra, hogy az adott implementáció pontossága elfogadható-e. Abban az esetben, ha ez az egyéni eljárás pontatlan, akkor a szabványosítási törekvés ellenére is pontatlan -- szélsőséges esetben teljesen hamis -- hőellenállás adatokat közölhetnek a gyártók az áramkör adatlapján.
Ennek megelőzésére egy olyan eljárást dolgoztam ki, amivel a méréstől függetlenül vizsgálható és minősíthető az identifikációs módszer. A kidolgozott új eljáráshoz a NID módszer vizsgálatán keresztül jutottam el.
Az eljáráshoz szükségünk van egy analitikus pontosságú időállandó spektrumra valamint struktúra függvényre. Az eljárás folyamatábrája a . ábrán látható.
Első lépésként definiálnunk kell egy referencia struktúrát, ahol minden szükséges változót ismerünk, így meghatározható annak az analitikus időállandó spektruma és struktúra függvénye. Praktikus okokból egy többrétegű struktúrát definiáltam, ahol több, mint egy szignifikáns időállandó komponensünk van. A referencia struktúra (egy teljesítmény MOS) modellje látható a . ábrán. A $\ZZ(\sss)$ impedancia könnyen meghatározható a távíró egyenletek segítségével. A referencia struktúra minden eleme egy elosztott RC vonal $\ZZ_t$ lezárással. Egy RC vonal $\ZZ_{in}$ bemeneti impedanciája a \begin{equation}\label{zin} \ZZ_{in}=\ZZ_0 \frac{\ZZ_t \cosh{\gamma}L + \ZZ_0 \sinh{\gamma}L}{\ZZ_t \sinh{\gamma L} + \ZZ_0 \cosh{\gamma L}} \end{equation} egyenlettel számítható, ahol \begin{equation} \gamma = \sqrt{\sss rc}~~~~~\ZZ_0 = \sqrt{\frac{r}{\sss c}} \end{equation} és $r, c$ az anyag hosszegységre eső termikus ellenállása és kapacitása, valamint $L$ az RC vonal hossza.
| Rétegek | Első | Második | Harmadik | Negyedik | Ötödik |
| $r \left[ \mathrm{K/W/m} \right]$ | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 |
| $c \left[ \mathrm{J/K/m} \right]$ | 1e-3 | 1e-2 | 1e-3 | 1e-2 | 1e-3 |
| $L \left[\mathrm{m}\right]$ | 1e-2 | 1e-2 | 1e-2 | 1e-2 | 1e-2 |
Az (\ref{zin}) egyenlet és az anyagparaméterek (. táblázat) alkalmazásával a modell utolsó tagjától az elsőig haladva minden lépésben az előző számítás eredményének bemeneti impedanciáját a következő lezárójának helyettesítve meghatározható a teljes struktúra $\ZZ(\sss)$ bemeneti impedanciája. Felhasználva a kapott eredményt, valamint (\ref{eq-idoall-imp}) és (\ref{eq-delta}) összefüggéseket, meghatározhatjuk a referencia struktúra időállandó spektrumát (. ábra).
A (\ref{konvossz}) egyenlet almalmazásával egy egyszerű konvolúcióval ki tudjuk számítani az egységugrás gerjesztésre adott válasz $d/dz$ deriváltját. Végül integrálva a $d/dz$ függvényt meghatározható a referencia struktúra analitikus ugrásválasza.
Ezek után ezt az ugrásválaszt használjuk a vizsgált NID implementáció bemenetének (szaggatottal bekeretezett rész a . ábrán), mint egy analitikus pontosságú termikus tranziens mérést.
Egy NID implementáció első fontos eredménye az időállandó spektrum. Ez a függvény valamennyi szükséges információt tartalmaz a vizsgált struktúráról.
A . a) ábrán látható az analitikus referencia időállandó spektrum és a NID implementáció által számított. Ezen ábra alapján még nem tudunk semmi konkrétumot megállapítani az implementáció minőségével kapcsolatban. A függvények alatti területek megegyeznek, vagyis a teljes hőellenállás megegyezik. A domináns időállandók pozíciói szintén azonos helyen vannak, de a kis intenzitású időállandók elkenődtek. A két időállandó spektrum integrálját összevetve már jobban látható a számítás minősége, és a függvények egyszerűbben összehasonlíthatóak (. b) ábra).
Ezt az ábrát megvizsgálva jól látható, hogy a vizsgált NID implementáció egy valóban pontos számítást eredményez, valamint ez az ábra alkalmas tolerancia séma kialakítására is, mint ami a . ábrán is látható (részletesen a . részben fogom tárgyalni a séma kialakítását). Ezen az ábrán a tolerancia sáv szélessége $6\,\%$.
A termikus tranziens mérés kiértékelésének a végeredménye a struktúrafüggvény, magától értetőnek tűnik ezen függvények közvetlen összehasonlítása.
A . a) ábrán a . b) ábrához hasonló módon a számított, a referenciát közelítő elkent görbe. Ez az ábra szintén felhasználható tolerancia séma kialakítására. Mivel az időállandó spektrum időállandó pozíciói és a struktúrafüggvény kumulatív ellenállás és kapacitás pozíciói között exponenciális összefüggés van, ezért az ekvivalens tolerancia sávnak szélesebbnek kell lenni, mint az integrális időállandó spektrum esetén. A . b) ábrán látható a tolerancia sáv. Ebben az esetben a tolerancia $15\%$.
Amennyiben szeretnénk megállapítani, hogy egy NID implementációnak mennyire kell pontosnak lennie (mennyire kell szigorú tolerancia sávot meghatározni), figyelembe kell vennünk néhány gyakorlati szempontot. A termikus tranziens kiértékelés fő felhasználási területe az integrált áramköri tokok hőforrás-tok termikus ellenállás karakterizálása [5]. Figyelembe kell vennünk a tokozáskor alkalmazott gyártási technológia pontatlanságait.
Példaként vizsgáljuk meg a . ábrán látható teljesítmény MOS tok modellt. Ez az egyszerűsített 1D tokmodell termikus szempontból földelt (cold-plate-el van kontaktálva), a rétegek a disszipációs ponttól a termikus földig: a chip, chip rögzítés (die attach), kivezető keret (lead-frame), TIM† anyag és a termikus föld (cold-plate) [33].
A gyártási devianciák szimulációjához egy Monte-Carlo jellegű analízist használtam, ahol valamennyi fő paraméter egy tartományon belüli szórással rendelkezett. A $\pm15\%$ rétegvastagság szórás eredménye látható a . a) ábrán.
Természetesen további megfontolásokra is szükségünk van, a . a) ábra még nem ad elegendő támpontot. A tokozási gyártástechnológiák során a különböző rétegek különböző gyártási szórással és karakterisztikus hibával terheltek, az egymáshoz viszonyított arányuk eltérő. Jelen példában a legkritikusabb réteg a chip rögzítő valamint a TIM anyag, mivel ezen rétegek $r$ fajlagos hőellenállása lényegesen nagyobb, mint a többi felhasznált anyagé. Ezeknek a rétegeknek a technológiai szórása is magasabb, mint a többi rétegé, vagyis az itt bekövetkező változások hatása sokkal drámaibb változásokat eredményez a teljes $R_{th}$, $C_{th}$ értékben.
Ha a vizsgált algoritmusunkat hibadetektálásra kívánjuk használni, akkor az elvárt tolerancia sávnak infinitezimálisan közel kell lenni a megengedhető gyártási szórásokhoz. A megengedhető szórások nem okoznak hibát, továbbra is a normális működési tartományban vagyunk. Ha az eltérés ettől nagyobb, akkor már szignifikáns hibával állunk szemben. Jelen példában a domináns rétegeknél megengedett ,,hossz'' diszperzió burkolóját kell képeznünk az optimális tolerancia sávhoz (. b) ábra).
4. tézis. A [15] publikáció egyes konvolúciós műveletekre (pl. az időtartomány és a frekvenciatartomány közötti transzformációkra) divergáló operátorfüggvényeket vezet le. Ezen operátorfüggvényeket úgy teszi mégis használhatóvá, hogy egy impulzusfüggvénnyel történő konvolúcióval regularizálja azokat.
Megállapítottam, hogy az impulzusfüggvény félértékszélesség paraméterével a felbontás romlása közel egyenesen, a jel-zaj viszony változása fordítottan arányos. [J1]
$$ \mathrm{SNR}_\mathrm{A} = \mathrm{SNR}_\mathrm{B}\frac{\left(\infint\WW(\Omega)\dd\Omega\right)^2}{\infint\infint\WW(\vartheta)\WW(\theta)r_B(\theta-\vartheta)\dd\theta\dd\vartheta} $$
A különböző tartományok közötti transzformációt biztosító súlyfüggvények egyik kellemetlen tulajdonsága a divergens viselkedésük, ami nyilvánvalóan matematikai nehézségeket okoz. Az olyan függvények, mint (\ref{eq24}) vagy (\ref{eq25}) exponenciálisan növekednek és egyre sűrűbb oszcillációt mutatnak az $\Omega\rightarrow\infty$ tartományon (lásd . a) ábra).
A [15] publikáció javaslata a probléma megoldására: használjunk egy alkalmasan módosított $W^*(\Omega)$ súlyfüggvényt az eredeti divergáló $W(\Omega)$ függvény helyett. A bevezetett problémás $W(\Omega)$ függvények mindig a következő alakú konvolúciós egyenletekben szerepelnek: \begin{equation}\label{eq-konvgen} A(\Omega)=W(\Omega)\otimes B(\Omega). \end{equation} Konvolváljuk ezt az egyenletet egy további $E(\Omega)$ függvénnyel. Legyen ez a függvény egy egységnyi területű keskeny impulzus. \begin{equation}\label{eq-konvgene} E(\Omega)\otimes A(\Omega)=E(\Omega)\otimes W(\Omega)\otimes B(\Omega) = W^*(\Omega)\otimes B(\Omega) \end{equation} Ha a $E(\Omega)\otimes A(\Omega)$ összefüggést tekintjük (\ref{eq-konvgen}) tökéletes megoldásának, akkor természetesen bevezetünk egy jól meghatározott hibát. Ez a hiba jól karakterizált és egy megengedhető határ alatt tartható. A hiba az $A(\Omega)$ felbontásromlásában mutatkozik meg, ami szorosan összefügg az $E(\Omega)$ impulzus szélességével. Az egyenlet jobb oldalán a módosított $W^*(\Omega)=E(\Omega)\otimes W(\Omega)$ súlyfüggvényt használjuk az eredeti helyett. Ha $E(\Omega)$-t megfelelően választjuk meg, akkor a módosított súlyfüggvény sokkal jobban fog viselkedni, mint az eredeti $W(\Omega)$. \Aref{appp}. függelék olyan alkalmas $E(\Omega)$ függvényeket mutat be, melyek félértékszélessége paraméterezhető (gyakorlatilag a felbontásvesztés). Ezek a függvények garantálják, hogy a módosított súlyfüggvény zérushoz tartson, ha $\Omega\rightarrow\pm\infty$ és analitikusan kifejezhető a konvolúciójuk a (\ref{eq24}) és (\ref{eq25}) típusú súlyfüggvényekkel (lásd . b) ábra). A megfelelő $E(\Omega)$ függvények kifejezése a . függelékben található meg.
Célom a regularizáló függvények operátorfüggvények zajérzékenységre gyakorolt hatásának meghatározása. Ennek ismeretében lehetővé válik a regularizáló függvények félértékszélességének optimalizálása.
Az előző pontban bemutatott művelet pontossági szempontból történő karakterizálásához azzal a feltételezéssel élünk, hogy a művelet lineáris rendszerként tárgyalható, hasonló módon (\ref{eq-konvgen}) egyenlethez, ahol $A(\Omega)$ a rendszer válasza, $B(\Omega)$ a gerjesztés és $W(\Omega)$ a rendszer súlyfüggvénye.
Tegyük fel, hogy $B(\Omega)$ mérésből származik. Pl. $B(\Omega)$ legyen az $\Omega$ logaritmikus frekvencia függvényében mért komplex impedancia függvény valós része. Természetesen a mért függvény valamennyi pontja mérési hibával terhelt, más szóval, $B(\Omega)$-nak van egy véletlen komponense amit zajnak tekintünk. A véletlen komponensek kvantitatív jellemzésére definiálható egy jel-zaj viszony $\SNRB$. Az egymást követő mérési minták korreláltak lehetnek, ami a mérési bizonytalanság autokorrelációs függvényével jellemezhető.
$B(\Omega)$ függvényt $W(\Omega)$-val konvolválva azt várjuk, hogy $\SNR$ romlani fog, mivel a járulékos zajkomponensek az amplitudójuk négyzetével arányosak. Ebből az következik, hogy $W^*(\Omega)$ negatív komponensei növelni fogják a teljes zajt, de csökkentik a jelamplitudót.
A részletes vizsgálathoz szükségünk van a normált autokorrelációs függvény, $r()$ definíciójára: \begin{equation}\label{eqnoise1} R(\Omega)=\overline{u^2} \cdot r(\Omega). \end{equation} $r(0)=1$ aszimptotikusan stabil rendszerekre.
Lineáris rendszerek kimeneti korrelációs függvénye [34, 35] alapján: \begin{equation}\label{eqnoise2} R_A(\Omega) = \overline{u_B^2} \infint\infint \WW(\vartheta)\WW(\theta)r_B(\Omega-\theta+\vartheta)\dd\theta\dd\vartheta\,, \end{equation} \begin{equation}\label{eqnoise3} \overline{u_A^2} = R_A(0)\,. \end{equation} A zaj kifejezhető, mint \begin{equation}\label{eqnoise4} \overline{u_A^2}=\overline{u_B^2}\infint\infint\WW(\vartheta)\WW(\theta)r_B(\theta-\vartheta)\dd\theta\dd\vartheta \end{equation} Definiáljuk a hasznos jel amplitudóját, mint az egységugrásra adott válasz állandósult állapotbeli értékét: \begin{equation}\label{eqnoise5} A(t\rightarrow\infty)=\infint \WW(\tau)\dd\tau\,. \end{equation} A jel-zaj viszony a rendszer kimenetén: \begin{equation}\label{eqnoise6} \boxed{\mathrm{SNR}_\mathrm{A} = \mathrm{SNR}_\mathrm{B}\frac{\left(\infint\WW(\Omega)\dd\Omega\right)^2}{\infint\infint\WW(\vartheta)\WW(\theta)r_B(\theta-\vartheta)\dd\theta\dd\vartheta}} \end{equation}
(\ref{eqnoise6}) analitikus kiértékelése bonyolult $W(\Omega)$ függvények esetén nehézségekbe ütközhet. (\ref{eqnoise6})-ba $W^*(\Omega)$-t helyettesítve a numerikus eredmények a $\Delta$ paraméter függvényében ábrázolhatóak. Az $E(\Omega)$ függvény (\ref{eq-konvgen}) szerint felbontásromlást okoz az $A(\Omega)$ függvényen az $\Omega$ tengely mentén. Praktikus lenne olyan kis $\Delta$-t választani amennyire lehet, de a . ábra alapján nyilvánvaló, hogy csökkenő $\Delta$ értékek a jel-zaj viszony romlását okozzák, így egy felbontás/zaj kompromisszum előtt állunk.
Értekezésemben az elosztott RC hálózatok elméletét láttam el elméleti és gyakorlati jelentőségű kiegészítésekkel. A bemutatott módszerek segítségével a hálózatleíró függvények mélyebb kapcsolata deríthető fel, a területen alkalmazott méréstechnikai eljárások rendszeres hibái korrigálhatóak, azok kiértékelő algoritmusai minősíthetőek.
Első téziscsoportom eredményeivel a hálózatidentifikációs eljárások egészíthetőek ki. A kiegészítéseknek köszönhetően az identifikáció során, ha az időállandó spektrumot vagy a dipólus intenzitás függvényt sikerült meghatározni, a másik közvetlenül számítható. Egy további hasznos tulajdonságot nyernek a kibővített eljárások, nem szükséges a teljes impedancia függvényt megadni, elég annak csak a valós vagy képzetes részét, valamennyi rendszerjellemző függvény egyértelműen meghatározható konvolúció segítségével. Ez különösen akkor praktikus, ha a rendszerünk komplex impedanciája nem mérhető meg pontosan, de tisztán a valós vagy képzetes része igen.
A második téziscsoportomban bevezetett admittancia alapú reprezentációknak köszönhetően a tranziens mérések kiértékelésére használt NID módszer a problémák szélesebb körében is alkalmazhatóvá vált. Ez a kiterjesztés különösen a tisztán elektromos hálózatok mérésekor praktikus.
Harmadik téziscsoportom eredményeit a gyakorlati alkalmazásokban jelentkező problémák motiválták. Az itt bemutatott eredmények segítségével egy karakterizálást követően direkt módon kompenzálhatóvá válik három jelentős, az időállandó spektrum mérését érintő, rendszeres hiba, valamint a méréstől függetlenül verifikálni tudjuk a kiértékeléshez használt hálózatidentifikációs algoritmus implementációját.
A negyedik tézisben bemutatott eredmények segítségével optimalizálni tudjuk a hálózatleíró függvények között transzformáló divergáló operátorfüggvények regularizációját. Ezeket a regularizált operátorfüggvényeket használja több, az előző téziscsoportokban bemutatott eljárás, így azok pontosságára, valamint jel-zaj viszonyára közvetlenül hatással van.
Szeretném megköszönni kollégáimnak, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elektronikus Eszközök Tanszéke minden munkatársának, hogy munkámban támogattak és biztosították az alkotó légkört.
Köszönöm Dr. Székely Vladimír témavezetőmnek, hogy tanácsaival és útmutatásaival támogatta doktori értekezésem létrejöttét.
Külön köszönöm Dr. Yamamoto Tetsuya (山本 哲也) úrnak, hogy felkeltette a téma iránt az érdeklődésemet.
Szeretném megköszönni családomnak a támogatást és a türelmet, ami nélkül nem tudtam volna elérni ezeket az eredményeket.
A $\sigma\rightarrow 0, -\infty < \omega < +\infty$ integrálási utat alkalmazva: \begin{equation}\label{eqxx1} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{2\pi j}\lim_{\omega\rightarrow\infty}\int\limits_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}\ZZ(\sss)\cdot\exp(\sss t)\dd \sss\,. \end{equation} Az integrálási út a $j\omega$ tengely $\sigma=0$-nál: \begin{equation} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{2\pi} \infint \ZZ(j\omega)\cdot\exp(j\omega t)\dd \omega\,. \end{equation} Az integrált két részre szeparálva: \begin{equation}\label{eqx2} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^0 \ZZ(j\omega)\cdot\exp(j\omega t)\dd \omega + \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^\infty \ZZ(j\omega)\cdot \exp(j\omega t) \dd \omega\,. \end{equation} Két egymást követő helyettesítés után, ahol $\omega=-k$ és $k=\omega$ az első integrál: \begin{equation}\label{eqx3} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^\infty \ZZ(-j\omega)\cdot\exp(-j\omega t)\dd \omega + \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^\infty \ZZ(j\omega)\cdot \exp(j\omega t)\dd \omega \end{equation} \begin{equation}\label{eqx4} \frac{\dd a}{\dd t} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^\infty\Bigl( \ZZ(j\omega)\cdot\exp(j\omega t) + \ZZ(-j\omega)\cdot \exp(-j\omega t) \Bigr)\dd \omega\,. \end{equation} Ameddig a $\ZZ(\tilde{\sss})=\tilde{\ZZ}(\sss)$ reláció igaz az impedancia függvényre, az összegzés két tagja konjugált párok. Ez azt jelenti, hogy a képzetes részek kiejtik egymást, csak a valós részek maradnak meg. \begin{equation}\label{eqx5} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty \real{\ZZ(j\omega)\cdot\exp(j\omega t)}\dd \omega \end{equation} \begin{equation}\label{eqx6} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty\real{\bigl(\real{\ZZ(j\omega)}+ j\imag{\ZZ(j\omega)} \bigr)\cdot \bigl(\cos(\omega t)+j \sin(\omega t) \bigr) }\dd \omega \end{equation} \begin{equation}\label{eqx7} \frac{\dd a}{\dd t}=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\infty \bigl( \real{\ZZ(j\omega)}\cdot \cos(\omega t) - \imag{\ZZ(j\omega)}\cdot\sin(\omega t) \bigr) \dd \omega\,. \end{equation} Új változókat bevezetve és felhasználva a $\frac{\dd a}{\dd t}=\frac{\dd a}{\dd z}\frac{\dd z}{\dd t}$ összefüggést: \[ \left.\frac{\dd a}{\dd z}\right|_{\zeta=-z}=\frac{1}{\pi}\infint \real{\ZZ(\Omega)}\exp(\Omega-\zeta)\cos\bigl(\exp(\Omega-\zeta)\bigr)\dd \Omega - \] \begin{equation}\label{eqx8} -\frac{1}{\pi}\infint\imag{\ZZ(\Omega)}\exp(\Omega-\zeta)\sin\bigl(\exp(\Omega-\zeta)\bigr)\dd \Omega \end{equation} ahol $\omega=\exp(\Omega), t=\exp(-z)$.
Kihasználjuk azt a tényt, hogy $\ZZ(\sss)$ egy megvalósítható hálózat impedancia függvénye, ezért $\ZZ(1/\sss)$ egy transzformált hálózatot ír le, ami szintén megvalósítható. Az $\sss\rightarrow 1/\sss$ helyettesítés megfelel a $j\omega\rightarrow 1/j\omega=-j\cdot1/\omega$ és $\omega\rightarrow -1/\omega$-nak. Alkalmazva a $\ZZ(\omega) = \real{\ZZ(\omega)}+j\imag{\ZZ(\omega)}$ jelölést az eredeti hálózatra, \begin{equation}\label{eqa1} \ZZ^t(\omega) = \real{\ZZ(1/\omega)}-j\imag{\ZZ(1/\omega)} \end{equation} igaz (a $\ZZ(\tilde{\sss})=\tilde{\ZZ}(\sss)$ relációt használtuk fel ismét). Az $\omega\rightarrow 1/\omega$ helyettesítés az $\Omega\rightarrow -\Omega$-nak felel meg. Ezek alapján \begin{equation}\label{eqa2} \ZZ^t(\Omega)=\real{\ZZ(-\Omega)}-j\imag{\ZZ(-\Omega)}\,. \end{equation} Alkalmazzuk (\ref{eq20}) összefüggést $\ZZ^t(\Omega)$-ra: \begin{equation}\label{eqa3} \WW_I(\Omega)\otimes\real{\ZZ(-\Omega)}=-\WW_R(\Omega)\otimes \imag{\ZZ(-\Omega)}\,. \end{equation} Mindkét oldalt deriválva $\Omega$ szerint: \begin{equation}\label{eqa4} \WW^{\prime}_I(\Omega)\otimes\real{\ZZ(-\Omega)}= - \WW^{\prime}_R(\Omega)\otimes \imag{\ZZ(-\Omega)}\,. \end{equation} Az $\Omega = -x$ változó tükrözésével a végeredmény: \begin{equation}\label{eqa5} \WW^{\prime}_I(-x)\otimes\real{\ZZ(x)}=-\WW^{\prime}_R(-x)\otimes \imag{\ZZ(x)}\,. \end{equation}
Az alapötlet: ha két jól viselkedő függvény (folytonos, egyértékű, stb.) deriváltja megegyezik, akkor a két függvény szintén megegyezik egy konstans $K$ faktortól eltekintve.
Alkalmazzuk a $y=x \cdot C$ helyettesítést: \begin{equation}\label{aaaaa} f(C)=-\int\limits_0^\infty \frac{\cos(y)-\exp\left(-y/C\right)}{y/C}\frac{\dd y}{C} + K=-\int\limits_0^\infty \frac{\cos(y)-\exp\left(-y/C\right)}{y}\dd y+K \end{equation} \begin{equation}\label{bbbbbbbb} \frac{\dd}{\dd C}f(C)=\int\limits_0^\infty \frac{1}{y}\exp\left(-\frac{y}{C}\right)\frac{y}{C^2}\dd y =\int\limits_0^\infty \frac{\exp\left(-y/C\right)}{C^2}\dd y \end{equation} \begin{equation}\label{eqappakarmi} \frac{\dd}{\dd C}f(C)=-\left[\frac{\exp\left(y/C\right)}{C}\right]_0^\infty=\frac{1}{C}\,, \end{equation} ami $\frac{\dd}{\dd C}\log(C)$ ha $C>0$ a $(0,\infty]$ intervallumon.
A következő lépésben a $K$ konstanst határozzuk meg. A következő határozott integrál létezik [36]: \begin{equation}\label{asdgag} \int\limits_0^\infty \frac{\cos(x)-\exp(-x)}{x}\dd x=0\,. \end{equation}
Ezek szerint ha $C = 1$ akkor $f(C) = 0$. Mivel $f(C) = \log(C)+K$, ebből következik, hogy $K = 0$.
Negatív $C$ esetén a $[-\infty,0)$ intervallumon egy további függvényt kell definiálni: \begin{equation}\label{kajsd} \logm(C)=\log(-C) \end{equation} \begin{equation}\label{jasdf} \frac{\dd}{\dd C}\logm(C)=\frac{1}{C}\,. \end{equation}
Vagyis $1/C$ a deriváltja a $\log(-C)$ függvénynek is – ha $C<0$, a $[-\infty,0)$ intervallumon. $f(C)=\log\bigl(|C|\bigr)$ minden valós számra kivéve $C = 0$.
[15] nyomán: \begin{equation}\label{eqa6} E_1(x)=F_0(x)\otimes F_1(x) \end{equation} vagy \begin{equation}\label{eqa7} E_n(x)=E_{n-1}(x)\otimes F_n(x)\,, \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eqa8} F_0(x)=\left\{ \begin{array}{c c} \displaystyle \frac{1}{\Delta} & \text{ha } -\frac{\Delta}{2} < x < \frac{\Delta}{2}\\ ~ & \\ \displaystyle 0 & \text{máshol} \end{array} \right. \end{equation} \begin{equation}\label{eqa9} F_n(x)=\left\{ \begin{array}{c c} \displaystyle \frac{\exp(-n x)}{2/n\cdot \sinh(n\Delta/2)} & \text{ha } -\frac{\Delta}{2} < x < \frac{\Delta}{2}\\ ~ & \\ \displaystyle 0 & \text{máshol} \end{array} \right.\,. \end{equation}
$E_1(x)$ félértékszélessége $\Delta$, $E_2(x)$ félértékszélessége $\sim1.5\cdot\Delta$.
$E_2(x)$ általában alkalmas a (\ref{eq27}-\ref{eq28}) egyenletek által meghatározott transzformációkhoz \cite{Szekely1997d}. \begin{equation}\label{eqa31} E_2(x)=K \cdot \exp(-x) \cdot \left\{ \begin{array}{l l} \displaystyle \sinh^2\left(\frac{3}{4}\Delta +\frac{1}{2}x \right) & \quad \mbox{ha $-\frac{3}{2}\Delta \leq x < -\frac{1}{2}\Delta$}\\ ~ & \\ \displaystyle \cosh\Delta-\cosh\left(\frac{\Delta}{2}\right)\cdot\cosh x & \quad \mbox{ha $-\frac{1}{2}\Delta \leq x < \frac{1}{2}\Delta$}\\ ~ & \\ \displaystyle \sinh^2\left(-\frac{3}{4}\Delta+\frac{1}{2}x \right) & \quad \mbox{ha $\frac{1}{2}\Delta \leq x < \frac{3}{2}\Delta$}\\ ~ & \\ \displaystyle 0 & \quad \text{máshol}\\ \end{array} \right. \end{equation} ahol \begin{equation}\label{eqa32} K=\frac{1}{\Delta\cdot\sinh\Delta\cdot\frac{\Delta}{2}}\,. \end{equation}
Ez a . ábrán látható keskeny impulzus néhány $\Delta$ érték esetén. Ennek az egyenletnek az integrálja mindig $1$.
Az $E_n(x)$ függvények fő előnye, hogy konvolúciójuk a $\exp(x)\cdot \sin/\cos(\exp(x))$ típusú függvényekkel analitikusan kifejezhető. Például a $\WW^{\prime}_R(\Omega)\otimes E_2(\Omega)$ függvény analitikus formája: \[ -\Bigl(\exp(x)\cdot \sin\bigl(\exp(x)\bigr)\Bigr)\otimes E_2(x)= \] \[=-\frac{K}{2}\exp(-2x)\sum_{i=0}^1(-1)^i\exp\left(\left(i-\frac{1}{2}\right)\Delta\right)\cdot\sum_{j=0}^1 (-1)^j \exp\bigl((i+j-1)\Delta\bigr)\cdot \] \begin{equation}\label{eqa33} \cdot \sum_{k=0}^1 (-1)^k \cos\left(\exp\left(x+\left(k-\frac{1}{2} \right)\Delta-\right.\right.\left.\left.\left(j-\frac{1}{2}\right)\Delta-\left(i-\frac{1}{2}\right)\Delta \right) \right)\,. \end{equation}
A $\WW^{\prime}_I(\Omega)\otimes E_2(\Omega)$ függvény hasonló, csak a $\cos()$ függvényt kell $-\sin()$-ra cserélni.
A $\sin/\cos(\exp(x))$ típusú függvények konvolúciójához $F_1(x)\otimes F_2(x)$ alkalmazható sikerrel.
